Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.
Передбачимо, що задано ймовірнісний простір ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} .
Нехай X : Ω → R m {\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}} і Y : Ω → R n {\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}} — випадкові величини, такі, що випадковий вектор ( X , y ) ⊤ : Ω → R m + n {\displaystyle (X,y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}} має дискретний розподіл , що задається функцією ймовірностей p X , y ( x , y ) , x ∈ R m , y ∈ R n {\displaystyle p_{X,y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}} . Нехай y 0 ∈ R n {\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} такий, що P ( Y = y 0 ) > 0 {\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})>0} . Тоді функція
p X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) = P ( X = x ∣ Y = y 0 ) = p X , y ( x , y 0 ) p y ( y 0 ) , x ∈ R m {\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,y}(x,y_{0}) \over p_{y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}} , де p Y {\displaystyle p_{Y}} - функція ймовірностей випадкової величини Y {\displaystyle Y} , називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини X {\displaystyle X} за умови, що Y = y 0 {\displaystyle Y=y_{0}} . Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.
Нехай X : Ω → R m {\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}} и Y : Ω → R n {\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}} - випадкові величини, такі що випадковий вектор ( X , Y ) ⊤ : Ω → R m + n {\displaystyle (X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}} має абсолютно неперервний розподіл , який задається щільностю ймовірностей f X , Y ( x , y ) , x ∈ R m , y ∈ R n {\displaystyle f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}} . Нехай y 0 ∈ R n {\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} таке, що f Y ( y 0 ) > 0 {\displaystyle f_{Y}(y_{0})>0} , де f Y {\displaystyle f_{Y}} - щільність випадкової величини Y {\displaystyle Y} . Тоді функція
f X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) = f X , Y ( x , y 0 ) f Y ( y 0 ) {\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}} називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини X {\displaystyle X} за умови, що Y = y 0 {\displaystyle Y=y_{0}} . Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.
Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема p X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) ≥ 0 , ∀ x ∈ R m , y 0 ∈ R n {\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} , ∑ x p X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) = 1 , ∀ y 0 ∈ R n {\displaystyle \sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} , і
f X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) ≥ 0 {\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0} майже усюди на R m + n {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}} , ∫ R m f X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) d x = 1 , ∀ y 0 ∈ R n {\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} , p X ( x ) = ∑ y p X ∣ Y ( x ∣ y ) p Y ( y ) {\displaystyle p_{X}(x)=\sum \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)} , f X ( x ) = ∫ R n f X ∣ Y ( x ∣ y ) f Y ( y ) d y {\displaystyle f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy} . Якщо випадкові величини X {\displaystyle X} і Y {\displaystyle Y} незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному: p X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) = p x ( x ) , ∀ x ∈ R m {\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{x}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}} або
f X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) = f x ( x ) {\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=f_{x}(x)} майже усюди на R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} . Якщо A {\displaystyle A} - зліченна підмножина R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} , то
P ( X ∈ A ∣ Y = y 0 ) = ∑ x ∈ A p X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) {\displaystyle \mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})} . Якщо A ∈ B ( R m ) {\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})} - борелівська підмножина R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} , то припускаємо за визначенням
P ( X ∈ A ∣ Y = y 0 ) = ∫ A f X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) d x {\displaystyle \mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx} . Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки P ( Y = y 0 ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})=0} .
Умовне математичне сподівання випадкової величини X {\displaystyle X} за умови Y = y 0 {\displaystyle Y=y_{0}} виходить підсумовуванням щодо умовного розподілу: E [ X ∣ Y = y 0 ] = ∑ x x p X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) {\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\ p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})} . Умовне математичне сподівання X {\displaystyle X} за умови випадкової величини Y {\displaystyle Y} - це третя випадкова величина E [ X ∣ Y ] {\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]} , що задається рівністю E [ X ∣ Y ] ( ω ) = E [ X ∣ Y = Y ( ω ) ] , ω ∈ Ω {\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega } . Умовне математичне сподівання випадкової величини X {\displaystyle X} за умови Y = y 0 {\displaystyle Y=y_{0}} виходить інтеграцією щодо умовного розподілу: E [ X ∣ Y = y 0 ] = ∫ R m x f X ∣ Y ( x ∣ y 0 ) d x {\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx} . Умовне математичне сподівання X {\displaystyle X} за умови випадкової величини Y {\displaystyle Y} - це третя випадкова величина E [ X ∣ Y ] {\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]} , що задається рівністю E [ X ∣ Y ] ( ω ) = E [ X ∣ Y = Y ( ω ) ] , ω ∈ Ω {\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega } . Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика . — Київ : ВПЦ Київський університет , 2007. — 504 с. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей . — 6-е изд. — Москва : Наука , 1988. — 446 с.(рос.) Гихман И. И. , Скороход А. В. , Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика . — Київ : Вища школа , 1988. — 436 с.(рос.) Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. — ISBN 9781852337810 Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ — ISBN 0-521-40605-6