Графік функцій Ai (x ) (червоний) та Bi (x ) (синій) Функція Ейрі Ai (x ) — спеціальна функція , названа на честь британського астронома Джорджа Бідделя Ейрі . Функції Ai (x ) та пов'язана з нею Bi (x ), яка називається функцією Ейрі другого роду, є лінійно незалежними розв'язками диференціального рівняння
y ″ − x y = 0 {\displaystyle y''-xy=0\,} , що називається рівнянням Ейрі . Це найпростіше диференціальне рівняння що має точку, в якій вид розв'язку замінюється з коливального на експоненційний.
Функція Ейрі описує те, як зірка (точкове джерело світла) виглядає в телескопі . Ідеальна точка перетворюється в набір концентричних кіл, в силу обмеженої апертури та хвильової природи світла . Функція Ейрі також є розв'язком стаціонарного рівняння Шредінгера для частки, що рухається в однорідному полі, наприклад, електричному .
Для дійсних x , функція Ейрі та функція Ейрі другого роду визначаються інтегралом:
A i ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ cos ( t 3 3 + x t ) d t . {\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.} B i ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ exp ( − t 3 3 + x t ) + sin ( t 3 3 + x t ) d t . {\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.} Виконуючи диференціювання під знаком інтегралу, можна переконатися, що ці функції справді задовольняють рівнянню Ейрі.
y ″ − x y = 0 . {\displaystyle y''-xy=0\,.} При x → − ∞ {\displaystyle x\rightarrow -\infty } функція Ейрі другого роду має однакову амплітуду коливань із функцією Ейрі, які, проте, відрізняються протилежною фазою.
В точці x =0 функції Ai(x ) і Bi(x ) та їх похідні мають значення
A i ( 0 ) = 1 3 2 / 3 Γ ( 2 3 ) , A i ′ ( 0 ) = − 1 3 1 / 3 Γ ( 1 3 ) , B i ( 0 ) = 1 3 1 / 6 Γ ( 2 3 ) , B i ′ ( 0 ) = 3 1 / 6 Γ ( 1 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{2/3}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{1/3}\Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{1/6}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{1/6}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}} де Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} — гамма-функція . Звідси випливає, що визначник Вронського функцій Ai(x ) та Bi(x ) дорівнює 1/π.
При додатних x Ai(x ) — додатна, опукла функція , яка зменшується експоненційно до 0, а Bi(x ) — додатна опукла функція, котра зростає експоненційно. При від'ємних x Ai(x ) та Bi(x ) коливається навколо нуля із дедалі більшою частотою й дедалі меншою амплітудою. Це підтверджується асимптотичними виразами для функцій Ейрі.
При x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } :
A i ( x ) ∼ e − 2 3 x 3 / 2 2 π x 1 / 4 B i ( x ) ∼ e 2 3 x 3 / 2 π x 1 / 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}} При x → − ∞ {\displaystyle x\rightarrow -\infty } :
A i ( − x ) ∼ sin ( 2 3 x 3 / 2 + 1 4 π ) π x 1 / 4 B i ( − x ) ∼ cos ( 2 3 x 3 / 2 + 1 4 π ) π x 1 / 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}} Функція Ейрі може бути аналітично продовжена на комплексну площину за формулою
A i ( z ) = 1 2 π i ∫ C exp ( t 3 3 − z t ) d t , {\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,} де інтеграл береться по контуру C {\displaystyle C} , котрий починається в точці на нескінченності із аргументом −π/3 і закінчується в точці на нескінченності із аргументом π/3. Можна підійти з іншого боку, використовуючи диференціальне рівняння y ″ − x y = 0 {\displaystyle y''-xy=0} для продовження Ai(x ) та Bi(x ) до цілих функцій на комплексній площині.
Асимптотична формула для Ai(x ) залишається в силі на комплексній площині, якщо брати головне значення кореня x 2/3 і x не лежить на від'ємній дійсній півосі. Формула для Bi(x ) правильна, якщо x лежить в секторі {x ∈C : |arg x | < (1/3)π−δ} для деякого додатного δ. Формули для Ai(−x ) та Bi(−x ) справедливі, якщо x лежить в секторі {x ∈C : |arg x | < (2/3)π−δ}.
Із асимптотичної поведінки функцій Ейрі витікає, що обидві вони мають нескінченне число нулів (коренів) на дійсній півосі. У функції Ai(x ) на комплексній площині немає інших нулів, а а функція Bi(x ) має нескінченне число нулів в секторі {z ∈C : (1/3)π < |arg z | < (1/2)π}.
Для додатних аргументів, функції Ейрі зв'язані з модифікованими функціями Бесселя :
A i ( x ) = 1 π 1 3 x K 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) , B i ( x ) = 1 3 x ( I 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) + I − 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}} де I ±1/3 и K 1/3 — розв'язок рівняння x 2 y ″ + x y ′ − ( x 2 + 1 / 9 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0\,} .
Для від'ємних аргументів функції Ейрі зв'язані з функціями Бесселя :
A i ( − x ) = 1 3 x ( J 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) + J − 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) ) , B i ( − x ) = 1 3 x ( J − 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) − J 1 / 3 ( 2 3 x 3 / 2 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}} де J ±1/3 — розв'язок рівняння x 2 y ″ + x y ′ + ( x 2 − 1 / 9 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0\,} .
Функції Скорера є розв'язками рівняння y ″ − x y = 1 / π {\displaystyle y''-xy=1/\pi \,} . Вони також можуть бути виражені через функції Ейрі
G i ( x ) = B i ( x ) ∫ x ∞ A i ( t ) d t + A i ( x ) ∫ 0 x B i ( t ) d t , H i ( x ) = B i ( x ) ∫ − ∞ x A i ( t ) d t − A i ( x ) ∫ − ∞ x B i ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}} Функція Ейрі названа на честь британського астронома Джорджа Бідделя Ейрі , котрий зіткнувся з нею при оптичних дослідженнях (1838 р.). Позначення Ai (x ) запровадив Гарольд Джеффрі .
Ландау Л. Д., Лившиц Е. М.: Квантовая механика , 1989 Розділ: Математические дополнения Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , ( § 10.4) . Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6 , 379—402. Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.