Під характеристи́чною фу́нкцією ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} випадкової величини X {\displaystyle X} розуміють математичне сподівання випадкової величини e i t X {\displaystyle e^{itX}} :
ψ ( t ) = M ( e i t X ) ( 1 ) {\displaystyle \psi (t)=M(e^{itX})\qquad (1)} , де t {\displaystyle t} — дійсний параметр.
Якщо F ( x ) {\displaystyle F(x)} — функція розподілу X {\displaystyle \!X} , то
ψ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e i t x d F ( x ) {\displaystyle \psi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF(x)} У випадку дискретного розподілу
ψ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ e i t x k p k {\displaystyle \psi (t)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}} (ряд Фур'є з коефіцієнтами p k {\displaystyle p_{k}} ). У випадку неперервного розподілу
ψ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e i t x f ( x ) d x {\displaystyle \psi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f(x)dx\,\!} (перетворення Фур'є )
Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величини[ ред. | ред. код ] Коли випадкова величина X {\displaystyle X} дискретна , тобто P ( X = x k ) = p k , k = 1 , 2 , … {\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k},\;k=1,2,\ldots } , то ϕ X ( t ) = ∑ k = 1 ∞ e i t x k p k {\displaystyle \phi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}} . Приклад. Нехай X {\displaystyle X} має розподіл Бернуллі . Тоді
ϕ X ( t ) = e i t ⋅ 1 ⋅ p + e i t ⋅ 0 ⋅ q = p e i t + q {\displaystyle \phi _{X}(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=pe^{it}+q} . ϕ X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e i t x f X ( x ) d x {\displaystyle \phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f_{X}(x)\,dx} . Приклад. Нехай X ∼ U [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\sim U[0,1]} має стандартний неперервний рівномірний розподіл . Тоді
ϕ X ( t ) = ∫ 0 1 e i t x ⋅ 1 d x = e i t x i t | 0 1 = e i t − 1 i t {\displaystyle \phi _{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{itx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{itx}}{it}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{it}-1}{it}}} . Для будь-якої характеристичної функції ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)}
ψ ( 0 ) = 1 | ψ ( t ) | ≤ 1 ( − ∞ < t < ∞ ) {\displaystyle \psi (0)=1\qquad |\psi (t)|\leq 1\qquad (-\infty <t<\infty )} , Якщо Y = a X + b {\displaystyle Y=aX+b\;} з константами a {\displaystyle a} і b {\displaystyle b} , то ψ Y ( t ) = ψ X ( a t ) e i b t {\displaystyle \psi _{Y}(t)=\psi _{X}(at)e^{i\;b\;t}} ( ψ X {\displaystyle \psi _{X}} — характеристична функція X {\displaystyle X} ).
Якщо X {\displaystyle X} є n {\displaystyle n} раз диференційованою по t {\displaystyle t} , то при k ≤ n {\displaystyle k\leq n}
ψ ( k ) ( 0 ) = i k M X k . {\displaystyle \psi ^{(k)}(0)=i^{k}MX^{k}.} ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} є рівномірно неперервною функцією на всьому просторі.
Якщо X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} - незалежні випадкові величини , та a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} - деякі константи, тоді
ψ a 1 X 1 + ⋯ + a n X n ( t ) = ψ X 1 ( a 1 t ) ⋯ ψ X n ( a n t ) . {\displaystyle \psi _{a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}}(t)=\psi _{X_{1}}(a_{1}t)\cdots \psi _{X_{n}}(a_{n}t).} Характеристична функція є самоспряженою : ψ ξ ( − t ) = ψ − ξ ( t ) = ψ ξ ( t ) ¯ {\displaystyle \psi _{\xi }(-t)=\psi _{-\xi }(t)={\overline {\psi _{\xi }(t)}}}
Випадкова величина ξ {\displaystyle \xi } є симетричною тоді і лише тоді коли характеристична функція ψ ξ ( t ) {\displaystyle \psi _{\xi }(t)} є дійснозначною.
Нехай F ( x ) {\displaystyle F(x)} — функція розподілу , а ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} — характеристична функція випадкової величиини X {\displaystyle X} . Якщо x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} — точки неперервності F ( x ) {\displaystyle F(x)} , то
F ( x 2 ) − F ( x 1 ) = 1 2 π lim c → ∞ ∫ ∞ ∞ e i t x 1 − e i t x 2 i t ψ ( t ) d t {\displaystyle F(x_{2})-F(x_{1})={1 \over {2\pi }}\lim _{c\to \infty }\int _{\infty }^{\infty }{{e^{itx_{1}}-e^{itx_{2}}} \over it}\ \psi (t)dt} Якщо X {\displaystyle \!X} — неперервна , а f ( x ) {\displaystyle \!f(x)} — густина F ( x ) {\displaystyle \!F(x)} , то спрощується
f ( x ) = 1 2 π ∫ ∞ ∞ e i t x ψ ( t ) d t {\displaystyle f(x)={1 \over {2\pi }}\int _{\infty }^{\infty }e^{itx}\psi (t)\;dt} Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є .
з формули перетворення (рос. обращения ) випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.
Якщо, наприклад, якимось чином для X {\displaystyle X} отримано характеристичну функцію e i a t − σ 2 t 2 2 {\displaystyle e^{iat-{\sigma ^{2}t^{2} \over 2}}} , то, згідно з теоремою єдиності і X ∈ N ( x ; a , σ ) {\displaystyle X\in N(x;a,\sigma )}
Гранична теорема для характеристичних функцій[ ред. | ред. код ] Послідовність { F ( x ) } {\displaystyle \left\{F(x)\right\}} функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу F ( x ) {\displaystyle F(x)} , якщо у всіх точках неперервності
lim n → ∞ F n ( x ) = F ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)} У дискретному випадку збіжність в основному F n ( x ) {\displaystyle F_{n}(x)} до F ( x ) {\displaystyle F(x)} , означає, що відповідні функції збігаються: p k n → p k {\displaystyle p_{k}^{n}\rightarrow p_{k}} для всіх k {\displaystyle k} .
У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)} неперервні) f n ( x ) → f ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x)} для всіх x {\displaystyle \!x} .
Якщо послідовність { F n ( x ) } {\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}} функції розподілу збігається в основному до функції розподілу F ( x ) {\displaystyle {F(x)}} , то послідовність відповідних характеристичних функцій { ψ n ( t ) } {\displaystyle \left\{\psi _{n}(t)\right\}} збігається до ψ ( t ) {\displaystyle {\psi (t)}} — характеристичної функції F ( x ) {\displaystyle {F(x)}} . Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі .
Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій { ψ n ( t ) } {\displaystyle \left\{\psi _{n}(t)\right\}} збігається до неперервної функції ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} , то послідовність відповідних функцій розподілу { F n ( x ) } {\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}} збігається до деякої функції розподілу F ( x ) {\displaystyle F(x)} і ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} є характеристичною функцією F ( x ) {\displaystyle F(x)} ).
У випадку дискретних випадкових величин , які можуть приймати лише значення 0 , 1 , … {\displaystyle 0,\;1,\;\ldots } часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції .
Нехай p k {\displaystyle \!p_{k}} є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини X {\displaystyle X} вказаного типу, а z {\displaystyle z} — комплексний параметр. Тоді
ϕ ( t ) = ∑ k p k z k {\displaystyle \phi (t)=\sum _{k}p_{k}\;z^{k}} називається твірною функцією випадкової величини X {\displaystyle X} . Функція ϕ ( z ) {\displaystyle \phi (z)} — аналітична в | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} . Її границя при z → e i t {\displaystyle z\rightarrow e^{it}} дає характеристичну функцію F ( x ) {\displaystyle F(x)} .
Твірні функції мають властивості, аналогічні властивостям характеристичних функцій.
Характеристичні функції багатомірних випадкових величин[ ред. | ред. код ] Під характеристичною функцією n {\displaystyle n} -мірної випадкової величини розуміють математичне сподівання величини exp ∑ k t k X k {\displaystyle \exp \sum _{k}t_{k}X_{k}} :
ψ ( t 1 , … , t n ) = M exp i ∑ k n t k X k {\displaystyle \psi (t_{1},\ldots ,t_{n})=M{\exp {i\sum _{k}^{n}t_{k}X_{k}}}} , де t 1 , . . . , {\displaystyle t_{1},...,} , t n {\displaystyle t_{n}} — дійсні параметри.
Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика . — Київ : ВПЦ Київський університет , 2007. — 504 с. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей . — 6-е изд. — Москва : Наука , 1988. — 446 с.(рос.) Гихман И. И. , Скороход А. В. , Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика . — Київ : Вища школа , 1988. — 436 с.(рос.) Бронштейн И. Н. , Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.