Якобіан — визна́чник матриці Якобі.
При заміні змінних
Якобіан визначається як
![{\displaystyle J=\left|{\begin{matrix}{\dfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial u_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial u_{m}}{\partial x_{m}}}\end{matrix}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35056292b9ca5a3fb0a8c9fd96a95848cde57337)
Якобіан використовується при зміні змінних при інтегруванні:
.
Крім позначення літерою J використовується також позначення
.
Якобіан має ряд властивостей, подібних до властивостей похідної. Зокрема
.
.
У сферичній системі координат
![{\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6b5db6eaa7df588afac8c37e6a263459d9a966)
![{\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26a91a1baedfd60ce7de4aef36af23f0bb0b091)
![{\displaystyle z=r\cos \theta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e951955d2c2e4a20652d59eb7bd8466e6b76e8bc)
Якобіан дорівнює
![{\displaystyle J{\bigl (}r,\theta ,\varphi {\bigr )}=\left|{\begin{matrix}{dx \over dr}{dx \over d\theta }{dx \over d\varphi }\\{dy \over dr}{dy \over d\theta }{dy \over d\varphi }\\{dz \over dr}{dz \over d\theta }{dz \over d\varphi }\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{matrix}}\right|=r^{2}\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1910c47cc0ae045b6fb668febec0e3bb22dfdf)
Тому
![{\displaystyle dxdydz=r^{2}\sin \theta drd\theta d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76985bfb51fa93e0a7b737be5c49c5835ebae1e7)
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Herbert Federer: Geometric measure theory. 1. Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4 (englisch). (Für die Definition)
- Wolfgang Nolting: Klassische Mechanik. In: Grundkurs theoretische Physik. 8. Auflage. Band 1. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-34832-0.
- W. Tian, W. Gao, D. Zhang et. (2014) A general approach for error modeling of machine tools. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 79, 17–23. (застосування якобіана для багатокоординатної обробки об'єктів)