一致連續又稱均勻連續,(英語:uniformly continuous),為數學分析的專有名詞,大致來講是描述對於函數
我們只要在定義域中讓任意兩點
跟
越來越接近,我們就可以讓
跟
無限靠近,這跟一般的連續函數不同之處在於:
跟
之間的距離並不依賴
跟
的位置選擇。 一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续,则其在此度量空间上必然连续,但反之未必成立。
设
和
皆是度量空间,我們說函数
一致连续,這代表對任意的
,存在
,使得定義域中任意兩點
只要
,就有
。
当
和
都是實數的子集合,
和
為絕對值
时,一致连续的定义可表述为:如果对任意的
,存在
,使得对任意兩點
,都有
,则稱函數
在
上一致连续。
均勻連續跟在每點連續最大的不同在於:在均勻連續定義中,正數
的選擇只依賴
這變數,而不依賴定義域上點的位置。
证明:
设函数
,
为紧致度量空间,
为度量空间。
假设
不是一致连续的,則存在一個
,对于任意
都存在
满足条件
并且
。
因为
为紧致度量空间,
是序列紧致的,所以存在一个
的收敛子序列
,设其收敛到
。
,所以
。
因为
连续,
,矛盾,定理得证。
一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下,连续不意味着一致连续。