三等分角 - 维基百科,自由的百科全书
尺规作图三大难题 |
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三等分角 |
化圓為方 |
倍立方 |
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三等分角是古希臘平面几何里尺規作圖领域中的著名问题,與化圓為方及倍立方問題並列為尺规作图三大難題。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一,是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化,研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是:“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分?”
三等分角问题提出后,在漫长的两千余年中,曾有众多的尝试,但没有人能够给出严格的答案[1] 。随着十九世纪群论和域论的发展,法国数学家皮埃尔·汪策尔首先利用伽罗瓦理论证明,這個問題的答案是否定的:不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说,汪策尔研究了给定单位长度後,能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数,而汪策尔证明了,如果能够三等分任意角度,那么就能做出不属于规矩数的长度,从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。
如果不将手段局限在尺规作图法中,放宽限制或借助更多的工具的话,三等分任意角是可能的。然而,作为数学问题本身,由于三等分角问题表述简单,而证明困难,并用到了高等的数学方法,在已被證明不可能实现后,仍然有许多人尝试给出肯定的证明。[1]
背景简介
[编辑]尺规作图法
[编辑]在叙述三等分问题前,首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题,将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定,研究的是能不能在若干个具体限制之下,在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中,直尺和圆规的定义是[1]:
- 直尺:一侧为无穷长的直线,没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
- 圆规:由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下,固定其中一个端点,让另一个端点移动,作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离,或者任意一个未知的距离。
定义了直尺和圆规的特性後,所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤,称为作图公法[1]:
- 通過兩個已知點,作一直線。
- 已知圓心和半徑,作一個圓。
- 若兩已知直線相交,确定其交點。
- 若已知直線和一已知圓相交,确定其交點。
- 若兩已知圓相交,确定其交點。
尺规作图研究的,就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复,达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是:“给定某某条件,能否用尺规作出某某对象?”比如:“给定一个圆,能否用尺规作出这个圆的圆心?”等等。[1]
问题叙述
[编辑]三等分角问题的完整叙述是[2]:
“ | 任意给定一个角,是否能够通过以上说明的五种基本步骤,于有限次内作出另一个角,等于这个角的三分之一? | ” |
关于这个叙述中的用词和术语,需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义:一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合,也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义,用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角AOB指的是由三点A, O, B以及线段AO和OB构成的集合,也可以直接用一个希腊字母如α表示。两个角AOB和A'O'B'相等,指的是以下条件:如果将线段OA沿点A延长为射线,在上面作一点C使得OC O'A',同时将线段OB沿点B延长为射线,在上面作一点D使得OD O'B',则CD A'B'。
一个角α等于另一个角β的三分之一,指的是角β等于角α的三倍。而一个角AOB等于角AOC的k倍(k > 1为自然数),指的是可以找到点B1, B2, ... , Bk等,使得k个角AOB1, B1OB2, ... , Bk-1OBk都等于AOC,并且点Bk就是点B。
二等分角问题
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Bisection_construction.gif)
与三等分角问题相比,用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤,也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪,随着群论和伽罗瓦理论的出现,数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中,更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道,尺规作图的方法不但不能三等分任意角,也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。
不可能性的證明
[编辑]1837年,法國數學家汪策爾證明了,三等分角問題是沒有辦法完成的[3]:15。
三等分角問題提出後,有許多基於平面幾何的論證和嘗試,但在十九世紀以前,一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法,但開始懷疑其可能性的人之中,也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後,伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法,人們才認識到三等分角問題的本質。
尺规可作性和规矩数
[编辑]在研究各种尺规作图问题的时候,数学家们留意到,能否用尺规作出特定的图形或目标,本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后,又可以将长度解释为坐标。比如说,作出一个圆,实际上是作出圆心的位置(坐标)和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线,实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此,数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点O和A,以OA为单位长度,射线OA为x-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系,平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示,整个平面可以等价于。
设E是的一个非空子集。如果某直线经过E中不同的两点,就说是E-尺规可作的,简称E-可作。同样地,如果某个圆的圆心和圆上的某个点是E中的元素,就说是E-可作的。进一步地说,如果里的某个点P是某两个E-可作的直线或圆的交点(直线-直线、直线-圆以及圆-圆),就说点P是E-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的,包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有E-尺规可作的点的集合记作s(E),那么当E中包含超过两个点的时候,E肯定是s(E)的真子集。从某个点集E0开始,经过一步能作出的点构成集合E1 s(E),经过两步能作出的点就是E2 s(E1),……以此类推,经过n步能作出的点集就是En s(En-1)。而所有从E能尺规作出的点集就是:
- 。[4]:521
另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设H是从集合E0 {(0,0), (0,1)}开始,尺规可作点的集合:H C(E0),那么规矩数定义为H中的点的横坐标和纵坐标表示的数。
可以证明,有理数集是所有规矩数构成的集合K的子集,而K又是实数集的子集。另外,为了在复数集内讨论问题,也会将平面看作复平面,同时定义一个复数a+bi是(复)规矩数当且仅当点(a, b)是H中的一个点。所有复规矩数构成的集合L也包含作为子集,并且是复数集的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数,三等分角问题从几何问题转成了代数的问题。[4]:522
域的扩张与最小多项式
[编辑]以集合的观念来说,L与、之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说,可以证明L是有理数域的扩域,是实数域的子域。记作。域是抽象代数中的概念,是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发,很容易得到任何有理数长度的线段,所以直线OA(也就是实数轴)上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点[1]。如果平面上还有另一个尺规可作点(对应复数z),那么也能做出任意pz+q的点,甚至于任何形如:
的点(其中P1和P2是两个多项式)。有理数域和所有因为z而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域,称为关于z的扩张,记作。然而,中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说,如果有一个多项式P使得P(z)=0,那么中的元素都可以写成λ1+λ2z+...+λdzd-1的形式,其中d是P的阶数。这样的情况称为域的有限扩张,因为可以看成关于的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数,需要为它找一个基底,也就是一个线性无关的最小生成集。为此,寻找使得m(z) 0的多项式中阶数最小的,并称m是z最小多项式。在最小多项式确定后,便可确定1, z, ... , zdm-1是的一个基底,是一个dm维的-线性空间(dm是m的阶数)[5]:68。这时候也称dm是域扩张的阶数,记作:
- [4]:512
规矩扩张的阶数
[编辑]对任何一个尺规可作点,都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的,而其中生成新点(也就是新坐标)的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻,已知的所有尺规可作点构成的域是L,那么生成新点时的直线和圆的系数都在L里面。
- 直线的方程是:
- 圆的方程是:
无论是两个(1)类方程,两个(2)类方程,还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解,得到的x和y值都会是形同
的数值。所以复规矩数z x+yi满足一个二次方程:
其中的p1+p2i、q1+q2i以及t都是L中的元素[4]:523[5]:78-79。这意味着,域扩张L⊆L(z)的阶数最多是2(最小多项式的阶数至多是2)[1]。这又说明,从L开始,经过一系列(n次)基本步骤得到的尺规可作点,代表了n次域扩张:
- 。
而每次域扩张的阶数:[Lk : Lk-1]都不超过2。因此,如果从基本的有理数域出发的话,就能得到如下的定理:[4]:523-524[1]
|
其中的s是某个小于n的自然数(n是已知所有有理数坐标点时,作出z对应的点要经过的基本步骤数目)。
三等分角的反证
[编辑]上文已经说明,任何可以用尺規作圖作出的点,其座標对应一个复規矩數,它的最小多項式次數為。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分,代表對任意角度是的角,均可以由尺規作圖得到 角度为的角。这等价于说在已知单位长度和的时候能做出的长度。设L是包含了和单位长度1的域。用尺规作图可以得到,说明域扩张的阶数是2的幂次:
然而根據三倍角公式:
- 。
运用多项式的知识可以证明,在L中的最小多项式的阶数必定不大于3,也就是说是1,2或者3[4]:512。比如说当角度时,L就是()三倍角公式变成:
- ,即是:
这个多项式不可约,所以这个方程的解不属于有理数集,所以可以证明。[1]然而3不是2的幂次,这和之前的结论矛盾。如此便说明,無法用尺規作圖將任意角三等分[4]:525-526。
能够尺规三等分的角度
[编辑]以上的证明通过一个反例:说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角(比如说直角)仍然是可行的[1]。事实上,从证明中可以看出,尺规三等分某个角等价于说[5]:58。要注意的是,这个条件与本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上,有的角度即便本身无法用尺规作图法作出,但如果已知角作为条件,是能够用尺规作图将它三等分的。角度就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出,但如果给定一个的角,它的五倍角就是,等于将圆周绕过一圈後的,这正是的三分之一。可以证明,角度可以用尺规三等分,当且仅当自然数N本身无法被三整除。
从证明中还可看出,只要自然数k只含有2以外的质因子,根据k倍角公式得到的k阶多项式就说明的最小多项式阶数整除k,所以不是2的幂次,从而无法用尺规作图k等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的(可以五等分,當且僅當N不是5的倍數;而不管N是多少,都不能七等分,因為正七邊形本身就不能尺規作圖了)。
三等分角的方法
[编辑]用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制,或允许使用另外的工具,那么三等分任意角仍旧是可能的。
无限次步骤
[编辑]尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话,可以利用
这个无穷级数的和来实现。给定任意一的角度为的角。已知尺规二等分角是可行的,所以重复两次就能够四等分一个角,得到。同样地,可以作出、等所有形同的角。将它们逐次相加,就能够在无限次(可数次)操作後用尺规作图得到
- 。[1]
二刻尺
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Three_facts_for_trisecting_angles.svg/355px-Three_facts_for_trisecting_angles.svg.png)
![把角a三等分](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Trisecting_angles_three.svg/500px-Trisecting_angles_three.svg.png)
如果允许使用有刻度的直尺(二刻尺),则三等分任意角是可行的。右图为把角a三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出[3]:4。
首先,在直尺上有两个刻度,相距AB。把角上的直线延长,并作一个半径为AB的圆。
把直尺的一点固定在A,并将直尺绕着点A移动,直到其中一个刻度位于点C,另一个刻度位于点D,也就是说,CD AB。这时,角b就是角a的三分之一。
要證明,我們需要利用直線上的鄰角(adjacent angles on straight line),三角形的內角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。
证明:
- 。
- 。
- 两式相减,得。
- ,因此,把上式代入,得。
- ,因此。
或者,可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作證明。
同樣也可證明。
借助其他形状或工具
[编辑]尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派,他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上,如果允许在作图中使用其他的曲线或形状,那么三等分任意角是可行的。例如:已知角AOB,做其角平分线OC。以直线OC为准线,点A为焦点,作一双曲线;同时以O为圆心,OA为半径做圆。设该圆与双曲线在角AOB内侧的交点为D,那么角AOD等于角AOB的三分之一。[1]此外,麦克劳林、利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线(等角螺线)也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中,阿基米德螺线的方程是:
其中的是极径(离原点的距离),是幅角。由于极径和幅角成正比,所以要寻找等于给定角度三分之一的角度,只需要确定原角度对应的极径长度,然后对比找出对应的角度即可。[3]:8
相關條目
[编辑]参考来源
[编辑]- ^ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗?》. 原載於科學月刊第九卷第四期. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28]. (原始内容存档于2014-06-23). 外部链接存在于
|publisher=
(帮助) - ^ 康明昌. 《古希臘幾何三大問題 》. 原載於數學傳播第八卷第二期、第八卷第三期分兩期刊出. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-29]. (原始内容存档于2004-04-06). 外部链接存在于
|publisher=
(帮助) - ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Underwood Dudley. The trisectors. Cambridge University Press. 1994. ISBN 9780883855140 (英语).
- ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Warner. Modern algebra. Courier Dover Publications. 1990. ISBN 9780486663418 (英语).
- ^ 5.0 5.1 5.2 Stewart, Ian. Galois Theory. Chapman and Hall Mathematics. 1989. ISBN 0-412-34550-1 (英语).
外部链接
[编辑]- HPM 通訊第6卷第6期,3大作圖題(页面存档备份,存于互联网档案馆) 介紹在較寬鬆的條件下(允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線)用尺規作圖,來求解三等分角問題。
- 三等分任意角可能嗎?(页面存档备份,存于互联网档案馆)