这个条目给出了二次互反律的证明。
对于两个奇素数
,
。[1]其中,
是勒让德符号。
设
是一个奇素数并且
。对于每个
,这样定义
和
:
,其中
,
。通过分别考虑
和
的情况,易证每个
都两两不等。
现在考虑
。因为每个
都两两不等,所以
就是
的一个重排列。所以我们得到
,因此
。
现在考虑
的正负情况。
等价于
。若
,则有
。注意到
,将等式两边同时乘2得到
,其中
,可以发现
是偶数,而
也是偶数。同理可证若
,
,而
是奇数。据此,可以知道
,其中
是
的符号,也就是
还是
。
所以
。又由欧拉准则知
,所以
。
如果
是奇数,同时考虑勒让德符号的性质
,可知
,其中最后一步利用了等差数列的求和公式。
但是,当
时,由上式可得
,所以
。
现在令
和
为奇素数,可得
以及
,
所以
。
现在考虑右边这幅图:设
,则
代表了三角形A中的格点个数,
代表了三角形B中的格点个数。它们加在一起等于整个
长方形的格点个数的四分之一。需要注意的是由于
互素,所以对角线上不可能有格点。
由于整个长方形的格点个数是
,所以
,即得
。
- ^ 高斯二次互反律. [2019-12-08]. (原始内容存档于2019-12-08).