有固定焦点 (几何) F 和準線的橢圓形 (e = 1/2) ,拋物線(e = 1) 和 雙曲線(e = 2) 。 二次曲面 (英語:Quadrics )指任何n 維的超曲面 ,其定義為多元二次方程 的解的軌跡。
在坐标 { x 0 , x 1 , x 2 , … , x D } {\displaystyle \{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{D}\}} ,二次曲面的定義為代數方程[ 1] :
∑ i , j = 0 D Q i , j x i x j + ∑ i = 0 D P i x i + R = 0 {\displaystyle \sum _{i,j=0}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=0}^{D}P_{i}x_{i}+R=0} 。 上式亦可以用矩陣乘法 和向量 的內積 等概念,寫成以下形式:
x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) ; {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}};} A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 12 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n ) ; {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}};} b = ( b 1 b 2 ⋮ b n ) {\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}} ⟨ A x , x ⟩ + ⟨ b , x ⟩ + c = 0 {\displaystyle \langle A\mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {b} ,\mathbf {x} \rangle +c=0} 二次曲面是代數簇 的一種。
二次曲面的方程为:
Q = { ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E y z + F x z + G x + H y + I z + J = 0 } {\displaystyle Q=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0\right\}} 未退化 的一般实二次曲面 橢球 面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,} 橢圓拋物面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,} 雙曲拋物面 x 2 a 2 − y 2 b 2 − z = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,} 單葉雙曲面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,} 雙葉雙曲面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,} 退化的二次曲面 椭圆锥面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,} 橢圓柱面 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,} 雙曲柱面 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,} 拋物柱面 x 2 + 2 a y = 0 {\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}
^ [1] (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ), Quadrics in Geometry Formulas and Facts by Silvio Levy, excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press).