停时的一个范例: 布朗运动 的首中时 在概率论 中,尤其在随机过程 的研究中,停时 是一种特殊的“随机时刻”。
停止规则和停时理论常在概率论 和统计学 中被提到和应用,其中著名的有可选抽样定理 。停时同时在数学证明中也被频繁应用——“驯服时间这一连续统” [1] 。
定義 — ( X , Σ , P ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,P)} 是機率空間 , ≤ {\displaystyle \leq } 是集合 T {\displaystyle T} 上的全序关系 ,若有個单射 F : T → P [ P ( X ) ] {\displaystyle {\mathcal {F}}:T\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]} 滿足:
對所有 t ∈ T {\displaystyle t\in T} , F ( t ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(t)} 是 X {\displaystyle X} 上的Σ-代数 ,且 F ( t ) ⊆ Σ {\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\subseteq \Sigma } 。 對所有 s , t ∈ T {\displaystyle s,\,t\in T} , 若 t ≤ s {\displaystyle t\leq s} 則 F ( t ) ⊆ F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\subseteq {\mathcal {F}}(s)} 那 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 被稱為 ( X , Σ , P ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,P)} 上的一個滤子 /域流 (filtration),也可以稱 ( X , Σ , F , P ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,{\mathcal {F}},\,P)} 為一個濾波 (機率)空間 。
要強調是用哪個集合 T {\displaystyle T} 去定義濾子的時候,可以仿造序列 的标记,把濾子記為 { F t } t ∈ T {\displaystyle {\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T}} ,然後把 F ( t ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(t)} 也簡記為 F t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}} 。
定義 — ( X , Σ , { F t } t ∈ T , P ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,{\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T},\,P)} 為一個濾波空間,若函数 τ : X → T {\displaystyle \tau :X\to T} 滿足。
( ∀ t ∈ T ) { { x ∈ X | τ ( x ) ≤ t } ∈ F t } {\displaystyle (\forall t\in T){\bigg \{}\{x\in X\,|\,\tau (x)\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}{\bigg \}}} 那稱 τ {\displaystyle \tau } 為濾子 { F t } t ∈ T {\displaystyle {\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T}} 的一個停時 (stopping time)
为了解释一些是或不是停时的随机时刻,考虑一个玩轮盘赌 的赌徒,其具有典型的赌场优势,初始时刻赌资为100元:
赌且只赌一次,对应于停时 τ {\displaystyle \tau } = 1,且这是一个停止规则(在停时概念中决定何时停止的规则或条件)。 当赌徒破产或赢得500元钱时停止赌博是一个停止规则。 当赌徒获得他所能赢得的最大赌资(此时刻之前以及之后)时停止赌博不是一个停止规则,且不提供一个停止规则:因为它不仅需要此刻和过去的信息,还需要将来的信息。 当赌徒使其赌资翻倍时(资产为负时若必要则允许贷款)不是一个停止规则,因为只有单边,而且他永远不能使他的赌资翻倍的概率 是正的。(这里假设存在限制使得备注诀窍体系 (加倍赌注法 )或者其变异方法(比如将上次的赌金翻三倍下注)不能被使用。这类限制可以包括针对投注的但并不针对借款。) 当赌徒使其赌资翻倍或破产时停止赌博是一个停止规则,虽然赌徒赌博的总次数实际上并不一定是有限的,但,他在有限时间内停下来的概率是1。 局部化 [ 编辑 ] 停时经常被用来概括一些情景具备的随机过程特性,在这些情景中需要的条件只在局部意义上被满足。首先,如果 X {\displaystyle X} 是一个(随机)过程, τ {\displaystyle \tau } 是它的一个停时,那么 X τ {\displaystyle X^{\tau }} 就用来表示过程 X {\displaystyle X} 在 τ {\displaystyle \tau } 时刻停止。
X t τ = X min ( t , τ ) {\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}} 那么, X {\displaystyle X} 被认为局部满足 P {\displaystyle P} 特性,若存在一列停时 τ n {\displaystyle \tau _{n}} , n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } , 1 { τ n > 0 } X τ n {\displaystyle 1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}} 满足特性 P {\displaystyle P} 。常见的例子如下面两个,其中 I = [ 0 , ∞ ) {\displaystyle I=[0,\infty )} :.
(局部鞅 )过程 X {\displaystyle X} 是一个局部鞅 ,若它是右连续有左极限的 ,且存在一列停时 τ n {\displaystyle \tau _{n}} , n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ,使得 1 { τ n > 0 } X τ n {\displaystyle 1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}} 对 ∀ n ∈ N {\displaystyle \forall n\in N} 是一个鞅 。 (局部可积 )非负连续的过程 X {\displaystyle X} 是局部可积的,若存在一列停时 τ n {\displaystyle \tau _{n}} , n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ,使得 ∀ n ∈ N {\displaystyle \forall n\in N} , E ( 1 { τ n > 0 } X τ n ) < ∞ {\displaystyle \mathbb {E} (1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}})<\infty } 。 停时的类型 [ 编辑 ] 停时(表示时间的下标取自 I = [ 0 , ∞ ] {\displaystyle I=[0,\infty ]} )常常依据发生时间能否预测被分成几类。
若 ∃ τ n {\displaystyle \exists {\tau _{n}}} , n ∈ N {\displaystyle n\in N} , ∀ n {\displaystyle \forall n} ,满足 0 < τ n < τ n + 1 < τ {\displaystyle 0<\tau _{n}<\tau _{n}+1<\tau } ,有 l i m n → ∞ x n {\displaystyle lim_{n\to \infty }x_{n}} ,则停时 τ {\displaystyle \tau } 是可预测的 。 τ n {\displaystyle {\tau _{n}}} 被称为 τ {\displaystyle \tau } 的预告,可预测的停时有时则被称作“可预告的”。例子有连续的适应过程 的到达时间 。取 a ∈ R {\displaystyle a\in R} ,设 X {\displaystyle X} 是实值连续过程,若 τ {\displaystyle \tau } 是第一个使得 X = a {\displaystyle X=a} 的时刻,则 τ {\displaystyle \tau } 是可被 τ n {\displaystyle \tau _{n}} 逼近的,即 τ n {\displaystyle \tau _{n}} 是第一个使得 | X − a | < 1 / n {\displaystyle |X-a|<1/n} 的时刻。
可被一列可预测的时刻覆盖的停时称为可接近的 。即, τ {\displaystyle \tau } 是可接近的,若:对于部分 n {\displaystyle n} , P ( τ = τ n ) = 1 {\displaystyle P(\tau =\tau _{n})=1} ,其中 τ n {\displaystyle \tau _{n}} 是可预测的时刻。
若停时 τ {\displaystyle \tau } 不能被任何递增的停时序列所逼近,则称为完全不可接近的 。等价地, P ( τ = σ < ∞ ) = 0 {\displaystyle P(\tau =\sigma <\infty )=0} ,其中 σ {\displaystyle \sigma } 是任取的可预测的时刻。例如泊松 跳跃。
每个停时 τ {\displaystyle \tau } 都可被惟一分解为一个可接近的时刻和一个完全不可接近的时刻。即,存在惟一的可接近的停时 σ {\displaystyle \sigma } 和惟一的完全不可接近的 υ {\displaystyle \upsilon } ,使得凡有 σ < ∞ {\displaystyle \sigma <\infty } 则 τ = σ {\displaystyle \tau =\sigma } ,凡有 υ < ∞ {\displaystyle \upsilon <\infty } 则 τ = υ {\displaystyle \tau =\upsilon } ,若 σ = τ = ∞ {\displaystyle \sigma =\tau =\infty } ,则 τ = ∞ {\displaystyle \tau =\infty } 。在此分解结果中需要说明的是,其中的停时并不一定总是有限的,也可以等于 ∞ {\displaystyle \infty } 。
参考文献 [ 编辑 ] Revuz, Daniel and Yor, Marc. Continuous martingales and Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293 Third edition. Berlin: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-64325-7 . H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis. Quickest Detection First edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 9780521621045 . Protter, Philip E. Stochastic integration and differential equations. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-00313-4 . 延伸阅读 [ 编辑 ] Shiryaev, Albert N. Optimal Stopping Rules. Springer. 2007. ISBN 3540740104 .