在量子力学中,克莱布希-高登系数(Clebsch–Gordan coefficients,简称 CG 系数,又称向量耦合系数等)是两个角动量耦合时,它们的本征函数的组合系数。
从数学的角度,克莱布希-高登系数出现在紧李群的表示论中,它研究的是两个不可约表示的张量积如何分解成不可约表示的直和。
克莱布希-高登系数因阿尔弗雷德·克莱布什和保罗·哥尔丹而得名。
在本文中,在不引起混淆的情况下,省略算符上的尖号。用粗体来表示向量(算符),用非粗体表示标量(算符)。
本文的讨论从角动量的一般量子理论出发,以角动量算符的对易关系为基础,不涉及角动量算符在某个具体表象下的表示[1]。相关内容可参见角动量算符对易关系一文。 给定了 j 之后,本征函数组
![{\displaystyle |jm\rangle ,\quad m=-j,-j+1,\dots ,j-1,j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e801e1e4fab2c02fdbe3e47e226aeb5bedb793)
张开成一个 2j+1 维的函数空间。
现在给定两个量子数 j1 和 j2,则其本征函数组张开的空间分别有 2j1+1 维 与 2j2+1 维。现考虑这两个函数空间的张量积
![{\displaystyle V=V_{1}\otimes V_{2}=\operatorname {span} (\{|j_{1}m_{1}\rangle |m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\dots ,j_{1}-1,j_{1}\})\otimes \operatorname {span} (\{|j_{2}m_{2}\rangle |m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\dots ,j_{2}-1,j_{2}\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffc3b357551e7fc849074677d3d61a793564de9)
显然有
![{\displaystyle V=\operatorname {span} (\{|j_{1}m_{1}\rangle |\otimes |j_{2}m_{2}\rangle |m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\dots ,j_{1}-1,j_{1};m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\dots ,j_{2}-1,j_{2}\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e440c68353adab36ded1be2d51397333d9c9ca)
下面为简便起见,定义新的记号
![{\displaystyle |j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle =|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9480575e9251caccbc817a3426c54b35d2024bdd)
一般地,若 f, g 分别是这两个空间里的算符,则在积空间上可以定义下列算符:
![{\displaystyle f\otimes g:V_{1}\otimes V_{2}\rightarrow V_{1}\otimes V_{2},u\otimes v\rightarrow (fu)\otimes (gv)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb69cdf9f7afa0328df52d5c5e97b44d81224f3)
另一方面,定义在这两个空间上的算符可以自然地嵌入到积空间中,只需取
![{\displaystyle f\rightarrow f\otimes 1,g\rightarrow 1\otimes g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498247cddf4d0addd20acfdaaaf9848790b94584)
其中 1 表示恒等操作(算符)。
在这样的定义下,两个角动量算符的的耦合表达为:
![{\displaystyle j_{\alpha }=j_{1,\alpha }+j_{2,\alpha }=j_{1,\alpha }\otimes 1+1\otimes j_{2,\alpha },\quad \alpha \in \{x,y,z\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00934ae548186838d2c00a8b29f6c0d26192ee8f)
![{\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}=\mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2},\quad \alpha \in \{x,y,z\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b7505055e695d1a2a8b350d6f4617743427ef4)
容易验证这样定义的 j 满足角动量的基本对易关系,因此是一个角动量算符,称为总角动量算符。
根据角动量的一般理论,总角动量算符也有自己的本征函数组,它可以用积空间里的基来表示
![{\displaystyle |jm\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle |j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6922da0ce580090f4fd9ee0c19107065d261afcb)
这里的线性组合系数
![{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc8fd7bbd0808242edc6f2cb5d52f9406758089)
就被称为克莱布希-高登系数。在正交归一性的要求下,克莱布希-高登系数仍然具有相位不确定性。本文中取 Condon-Shortle 惯例,使所有克莱布希-高登系数为实数。
![{\displaystyle j_{z}=j_{1,z}+j_{2,z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e7523199792a2869dac44d627fb121bc6cfc04)
上式两边取矩阵元,就得到:
![{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle =\delta _{m_{1}+m_{2},m}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm_{1}+m_{2}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357131754d42558b58939bd63748b3938fbcffe0)
故在克莱布希-高登系数的表达式中可以省略 m 的值。
下面考虑耦合表象中量子数 j 的取值,根据上式,有
![{\displaystyle j_{\max }=m_{\max }=m_{1,\max }+m_{2,\max }=j_{1}+j_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689b9b547b55af31bf7b9e3c535fe6ea25c971ca)
故 j 最大的可能取值是 j1 与 j2 的和,且它只出现一次。此时
![{\displaystyle m=-j_{\max },-j_{\max }+1,\dots ,j_{\max }-1,j_{\max }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8e70c101dbc8959929d21d493a7d3ea09b9cc6)
考虑下一个可能的 j,显然第二大的 m=mmax-1,它可以通过两种方式组合而来,
![{\displaystyle m_{1}=j_{1}-1,m_{2}=j_{2}{\text{ or }}m_{1}=j_{1},m_{2}=j_{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46901c2b79079e62d814d52b4b1ac85aa12d4feb)
它们张开成一个二维的空间,但 j=jmax 的本征函数组里面已经出现过 m=jmax-1,这里占用了一维,因此下一个可能的 j 只能是 jmax-1,它同样只出现一次。
这样分析下去,就会知道 j 的所有可能取值只能是
![{\displaystyle j_{\min },j_{\min }+1,\dots ,j_{\max }-1,j_{\max }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0b4f30c2fd0ae6640342d1b6c4f98e2e932354)
其中每个 j 恰好出现一次,且
![{\displaystyle j_{\max }-j_{\min }\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c3e74150981d4474f239d57fd358134365c8b2)
但积空间的维数应该等于两个空间维数之积,即
![{\displaystyle \sum _{n=j_{\min }}^{j_{\max }}(2n+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b91e2453beaf1c423cf26a341e3e0f4cfc5c09)
故有
![{\displaystyle j_{\min }=|j_{1}-j_{2}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71b753b94d01ddbb88ddd51b7493ae960578fc6)
以
为例[2]。
对任意一个算符
,本节中的矩阵元表示
![{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|f|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7047c5eb5b971b4f8111052f9ddc3f4ff30603f)
的值。
![{\displaystyle j_{z}={\frac {1}{2}}\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd72cad0b4104ea179ce258af08749049d0967fc)
![{\displaystyle j_{+}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}}=j_{-}^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a981c296a02b7906390ee367e6f4849e2ce2adb9)
![{\displaystyle \mathbf {j} ^{2}={\frac {1}{2}}[j_{+},j_{-}]_{+}+j_{z}^{2}={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17efc13d21b19b3be84fb91cffaf75cfffd4cb6)
计算最后一个矩阵的本征值和本征向量,得到
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\operatorname {diag} \{0,2,2,2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bc459a11d7c8038dc844416def76b633186939)
于是可知克莱布希-高登系数为:
m=1 | j= |
| | 1 | 1/2, 1/2 | | |
m=0 | j= |
m1, m2= | | 1 | 0 | 1/2, -1/2 | | | -1/2, 1/2 | | | |
m=-1 | j= |
m1, m2= | | 1 | -1/2, -1/2 | | |
从上面的例子可以看到,对于一般的情况,用矩阵来求克莱布希-高登系数将是十分繁琐的。一般可以采用下面的 Racah 表达式计算,更多的情况是直接查表。
Racah 用代数方法得出了克莱布希-高登系数的有限级数表达式[3]。
![{\displaystyle {\begin{array}{cl}&\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle \\=&\delta _{m_{3},m_{1}+m_{2}}\left[(2j_{3}+1){\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{2}+j_{3}-j_{1})!(j_{3}+j_{1}-j_{2})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}\times \prod _{i=1,2,3}(j_{i}+m_{i})!(j_{i}-m_{i})!\right]^{1/2}\\\times &\sum _{\nu }[(-1)^{\nu }\nu !(j_{1}+j_{2}-j_{3}-\nu )!(j_{1}-m_{1}-\nu )!(j_{2}+m_{2}-\nu )!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+\nu )!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+\nu )!]^{-1}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f764eccc6cdcdaa3247d9f194cc1047918d74fc)
其中, ν 的求和限制在使得所有的阶乘因子中的数非负的范围内。
克莱布希-高登系数有下列的对称性[1]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,{-m_{1}}j_{2}\,{-m_{2}}|J\,{-M}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}m_{1}J\,{-M}|j_{2}\,{-m_{2}}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,{-M}j_{2}m_{2}|j_{1}\,{-m_{1}}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle JMj_{1}\,{-m_{1}}|j_{2}m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,{-m_{2}}JM|j_{1}m_{1}\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd0c19438dab35ca7eaf45873d02dc2070f658a)
克莱布希-高登系数与维格纳 3-j 符号有下列关系[4]:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,{-m_{3}}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51eec4610293bc18ac98f2ef4a7b24ad29970adf)
后者可以用于计算下列形式的球谐函数积分[4]:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\[8pt]0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8b5fe21a4c05360c71ed4b066d9c40e3fb127d)
由球谐函数的正交归一性,上面的结果也可以用来对球谐函数作展开。
- ^ 1.0 1.1 曾谨言. 10. 量子力学卷 I (第四版). 科学出版社. [2011]. ISBN 9787030181398.
- ^ William O. Straub. EFFICIENT COMPUTATION OF CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS (PDF). [2014-09-09]. (原始内容存档 (PDF)于2019-08-19).
- ^ Giulio Racah. Theory of Complex Spectra. II. Phys. Rev.: 438. doi:10.1103/PhysRev.62.438.
- ^ 4.0 4.1 Maximon, Leonard C., 3j,6j,9j Symbols, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248