克雷洛夫子空间 - 维基百科,自由的百科全书
线性代数中,由n阶方阵A与n维向量b生成的r阶克雷洛夫子空间是b在A的前r次幂下(始于)的列空间张成的线性子空间,即[1][2]
背景
[编辑]这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov,他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。[3]
性质
[编辑]- .
- 令,则是线性无关的,除非,。因此是克雷洛夫子空间的最大维度。
- 最大维度满足.
- 考虑,其中是A的极小多项式。我们有。此外,对它来说此约束是紧密的,即。
- 是由b产生的扭化-模的循环子模,其中是k上的线性空间。
- 可分解为克雷洛夫子空间的直和。[需要解释]
使用
[编辑]克雷洛夫子空间用于寻找高维线性代数问题的近似解。[2]控制论的很多线性动态系统检测,特别是与可控制性和可观测性相关的测试,都要检查克雷洛夫子空间的秩。测试等同于寻找与系统/输出映射相关的格拉姆行列式的张成空间,因此不可控与不可观测子空间只是克雷洛夫子空间的正交补。[4] 阿诺德迭代法等现代迭代法可用于寻找大型稀疏矩阵的特征值,或求解大型线性方程组。这些方法尽量避免矩阵间的运算,而将向量与矩阵相乘。从向量b开始,可以计算,然后将向量与A相乘,求得等等。所有这样的算法都称作克雷洛夫子空间方法,是目前数值线性代数中最成功的方法之一。这些方法可用于能计算矩阵-向量乘法而无A的显式表示的情形,从而产生了无矩阵法。
问题
[编辑]由于幂迭代的特性,向量很快就会变得近乎线性相关,因此依赖于克雷洛夫子空间的方法经常要正交化,例如厄米矩阵的兰佐斯算法或更一般矩阵的阿诺德迭代法。
现有方法
[编辑]最著名的克雷洛夫法有共轭梯度法、诱导降维法、广义最小残量方法、稳定双共轭梯度法、准最小残差法、无转置准最小残差法、最小残差法等等。
另见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. Numerical optimization. Springer series in operation research and financial engineering 2nd. New York, NY: Springer. 2006: 108. ISBN 978-0-387-30303-1.
- ^ 2.0 2.1 Simoncini, Valeria, Krylov Subspaces, Nicholas J. Higham; et al (编), The Princeton Companion to Applied Mathematics, Princeton University Press: 113–114, 2015
- ^ Krylov, A. N. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем [On the Numerical Solution of Equation by Which are Determined in Technical Problems the Frequencies of Small Vibrations of Material Systems]. Izvestiia Akademii Nauk SSSR. 1931, 7 (4): 491–539 (俄语).
- ^ Hespanha, Joao, Linear Systems Theory, Princeton University Press, 2017
阅读更多
[编辑]- Nevanlinna, Olavi. Convergence of iterations for linear equations. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Basel: Birkhäuser Verlag. 1993: viii+177 pp. ISBN 3-7643-2865-7. MR 1217705.
- Saad, Yousef. Iterative methods for sparse linear systems
2nd. SIAM. 2003. ISBN 0-89871-534-2. OCLC 51266114.
- Gerard Meurant and Jurjen Duintjer Tebbens: ”Krylov methods for nonsymmetric linear systems - From theory to computations”, Springer Series in Computational Mathematics, vol.57, (Oct. 2020). ISBN 978-3-030-55250-3, url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0.
- Iman Farahbakhsh: "Krylov Subspace Methods with Application in Incompressible Fluid Flow Solvers", Wiley, ISBN 978-1119618683 (Sep., 2020).
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