在交換代數中,一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依數學家 Wolfgang Krull(1899年-1971年)命名。
設交換環
中有
個素理想
,使得
![{\displaystyle P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a88066c3f7c96a72c29cdf2b3c404fbe0a3865)
則稱之為長度為
的素理想鏈,一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。
的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度,這也等於是
中素理想的最大可能高度。
根據定義,
的維數與對素理想的局部化有下述關係
![{\displaystyle \dim R=\sup\{\dim R_{\mathfrak {p}}:{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7391183e01580fe06d4c9c3d14492114d679aa)
其中
表
的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為極大理想的
。當
為鏈環時,對各極大理想的局部化皆有相同維數;代數幾何處理的交換環通常都是鏈環。
例如在環
中可考慮以下的素理想鏈
![{\displaystyle (2)\subsetneq (2,x)\subsetneq (2,x,y)\subsetneq (2,x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0488f920f08febc9104e59e062f7d443745864f0)
因此
;事實上可證明其維數確實為 3。以下是克鲁尔維數的幾個一般性質:
- 零維的整環是域。
- 離散賦值環與戴德金整環是一維的。
- 若
,則
;當
為諾特環時則
。 - 若
為域,則
。 - 若
為
-代數,同時又是有限生成的
-模,則
。
在代數幾何中,一個概形的維數被定義為各局部環的克鲁尔維數的上確界;對於仿射概形
,則回歸到
。
設
為域,
是有限型
-整代數,這是代數幾何中的主要案例。根據諾特正規化引理,存在非負整數
及
中彼此代數獨立的元素
,使得
是有限生成之
-模,因此
。從幾何觀點看,
此時是
的有限分歧覆蓋,因而克鲁尔維數確實合乎下述幾何直觀:
![{\displaystyle \dim \mathbb {A} _{k}^{d}=d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edbb10c9e75cb73636011776a1a37cb5d42dcaea)
- 若
是分歧覆蓋,則
。
特別是當
時,代數簇的克鲁尔維數等於複幾何中定義的維數。