数学 上,勒让德函数 指以下勒让德微分方程 的解:
( 1 − x 2 ) d 2 P ( x ) d x 2 − 2 x d P ( x ) d x + n ( n + 1 ) P ( x ) = 0. {\displaystyle (1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}P(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} P(x)}{\mathrm {d} x}}+n(n+1)P(x)=0.} 为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式 :
d d x [ ( 1 − x 2 ) d d x P ( x ) ] + n ( n + 1 ) P ( x ) = 0. {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0.} 上述方程及其解函数因法国 数学家 阿德里安-马里·勒让德 而得名。勒让德方程是物理學 和其他技術領域常常遇到的一類常微分方程 。當試圖在球坐標 中求解三維拉普拉斯方程 (或相關的其他偏微分方程 )時,問題便會歸結為勒讓德方程的求解。
勒让德方程的解可写成标准的幂级数 形式。当方程满足 | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} 时,可得到有界解(即解级数收敛)。并且当n 为非负整数 ,即 n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots } .
勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} 关于L2 内积 满足正交性 ,即:
∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 2 2 n + 1 δ m n {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}} 其中 δ m n {\displaystyle \delta _{mn}} 为克罗内克δ 记号,当 m = n {\displaystyle m=n} 时为1,否则为0。 事实上,推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式 1 , x , x 2 , … {\displaystyle {1,x,x^{2},\ldots }} 进行格拉姆-施密特正交化 。之所以具有此正交性是因为如前所述,勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题 :
d d x [ ( 1 − x 2 ) d d x P ( x ) ] = − λ P ( x ) , {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P(x)\right]=-\lambda P(x),} 其中本征值 λ {\displaystyle \lambda } 对应于原方程中的 n ( n + 1 ) {\displaystyle n(n+1)} 。
下表列出了前11阶(n 从0到10)勒让德多项式的表达式:
n P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)\,} 0 1 {\displaystyle 1\,} 1 x {\displaystyle x\,} 2 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,} 3 1 2 ( 5 x 3 − 3 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,} 4 1 8 ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,} 5 1 8 ( 63 x 5 − 70 x 3 + 15 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,} 6 1 16 ( 231 x 6 − 315 x 4 + 105 x 2 − 5 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,} 7 1 16 ( 429 x 7 − 693 x 5 + 315 x 3 − 35 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,} 8 1 128 ( 6435 x 8 − 12012 x 6 + 6930 x 4 − 1260 x 2 + 35 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,} 9 1 128 ( 12155 x 9 − 25740 x 7 + 18018 x 5 − 4620 x 3 + 315 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,} 10 1 256 ( 46189 x 10 − 109395 x 8 + 90090 x 6 − 30030 x 4 + 3465 x 2 − 63 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}
前6阶(n 从0到5)勒让德多项式的曲线如下图所示:
在求解三维空间中的球对称问题,譬如计算点电荷 在空间中激发的电势 时,常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数 展开:
1 | x − x ′ | = 1 r 2 + r ′ 2 − 2 r r ′ cos γ = ∑ ℓ = 0 ∞ r ′ ℓ r ℓ + 1 P ℓ ( cos γ ) {\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )} 其中 r {\displaystyle r} 和 r ′ {\displaystyle r'} 分别为位置向量 x {\displaystyle \mathbf {x} } 和 x ′ {\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }} 的长度(其中 r {\displaystyle r} 和 r ′ {\displaystyle r'} 分别為對位置向量 x {\displaystyle \mathbf {x} } 和 x ′ {\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }} 的長度進行測量的結果), γ {\displaystyle \gamma } 为两向量的夹角( γ {\displaystyle \gamma } 為對兩向量的夾角展開估計的結果)。当 r > r ′ {\displaystyle r>r'} 时上式成立。该式计算了在 x ′ {\displaystyle \mathbf {x} '} 处的点电荷激发的电场 在 x {\displaystyle \mathbf {x} } 点引起的电势大小。在对空间中连续分布的电荷引起的电势大小进行计算时(當計算由連續分佈之電荷所產生的電位時),将涉及对上式进行积分 (需積分上式中間項)。这时,上式右边的勒让德多项式展开将对此积分的计算带来很大的方便(逐項積分上式右邊的展開式可得一級數解,此級數之第一項叫做電單極矩,第二項叫做電偶極矩 ,第三項叫做電四極矩)。
静电场中具有轴对称边界条件 的问题可以归结为在球坐标系 中用分离变量法 求解关于电势函数的拉普拉斯方程 ∇ 2 Φ ( x ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )=0} (与和对称轴的夹角无关)。若设 z ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}} 为对称轴, θ {\displaystyle \theta } 为观测者位置向量和 z ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}} 轴的夹角,则势函数的解可表示为:
Φ ( r , θ ) = ∑ ℓ = 0 ∞ [ A ℓ r ℓ + B ℓ r − ( ℓ + 1 ) ] P ℓ ( cos θ ) . {\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).} 其中 A ℓ {\displaystyle A_{\ell }} 和 B ℓ {\displaystyle B_{\ell }} 由具体边界条件确定[ 1] 。
勒让德多项式的奇偶性由其阶数确定。当阶数k 为偶数 时, P k ( x ) {\displaystyle P_{k}(x)} 为偶函数 ;当阶数k 为奇数 时, P k ( x ) {\displaystyle P_{k}(x)} 为奇函数 ,即:
P k ( − x ) = ( − 1 ) k P k ( x ) . {\displaystyle P_{k}(-x)=(-1)^{k}P_{k}(x).\,} 相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系:
( n + 1 ) P n + 1 = ( 2 n + 1 ) x P n − n P n − 1 {\displaystyle (n+1)P_{n+1}=(2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}\,} 另外,考虑微分 后还有以下递推关系:
x 2 − 1 n d d x P n = x P n − P n − 1 . {\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}.} ( 2 n + 1 ) P n = d d x [ P n + 1 − P n − 1 ] . {\displaystyle (2n+1)P_{n}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right].} 其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分 中较为有用。
使多项式的值:
#include <iostream> using namespace std ; int main () { float n , x ; float polyaendl ; return 0 ; } float polya ( float n , float x ) { if ( n == 0 ) return 1.0 ; eurn x ; else return (( 2.0 * n - 1.0 ) * x * polya ( n - 1.0 , x ) - ( n - 1.0 ) * polya ( n - 2.0 , x )) / n ; } 移位勒让德多项式 P n ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)} 的正交区间定义在 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 上,即:
∫ 0 1 P m ~ ( x ) P n ~ ( x ) d x = 1 2 n + 1 δ m n . {\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,\mathrm {d} x={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}.} 其显式表达式为:
P n ~ ( x ) = ( − 1 ) n ∑ k = 0 n ( n k ) ( n + k k ) ( − x ) k . {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}.} 相应的罗德里格公式 为:
P n ~ ( x ) = ( n ! ) − 1 d n d x n [ ( x 2 − x ) n ] . {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(n!)^{-1}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,} 下表列出了前4阶移位勒让德多项式:
n P n ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)} 0 1 1 2 x − 1 {\displaystyle 2x-1} 2 6 x 2 − 6 x + 1 {\displaystyle 6x^{2}-6x+1} 3 20 x 3 − 30 x 2 + 12 x − 1 {\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}
分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分 和通过Γ函数 定义的非整数阶乘 代入罗德里格公式 中来定义。
大Q勒让德多项式 →勒让德多项式 令大q雅可比多项式中的 c = 0 {\displaystyle c=0} ,即勒让德多项式
令连续q勒让德多项式 q->1得勒让德多项式
lim q → 1 P n ( x | q ) = P n ( x ) {\displaystyle \lim _{q\to 1}P_{n}(x|q)=P_{n}(x)}
小q勒让德多项式 →勒让德多项式
lim q → 1 p n ( x | q ) = P n ( 1 − 2 x ) {\displaystyle \lim _{q\to 1}p_{n}(x|q)=P_{n}(1-2x)}