巴拿赫不动点定理,又称为压缩映射定理或压缩映射原理,是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性,并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的,他在1922年提出了这个定理。
设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射,也就是说,存在一个非负的实数q < 1,使得对于所有X内的x和y,都有:
![{\displaystyle d(T(x),T(y))\leq q\cdot d(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe22ab90d7e81912b71022907239553dfe9014e)
那么映射T在X内有且只有一个不动点x*(这就是说,Tx* = x*)。更进一步,这个不动点可以用以下的方法来求出:从X内的任意一个元素x0开始,定义一个迭代序列xn = Txn-1,其中n = 1,2,3,……。那么,这个序列收敛,极限为x*。以下的不等式描述了收敛的速率:
![{\displaystyle d(x^{*},x_{n})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b73c7dcef6df628277597f350e21c956cbb5034)
等价地:
![{\displaystyle d(x^{*},x_{n+1})\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361bbb12bb52664d202f07eb7dd6ea934fc0ce5f)
且
![{\displaystyle d(x^{*},x_{n+1})\leq qd(x_{n},x^{*}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ea61a54b9dc710eef48ee5f86f8a9ca504779e)
满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。
注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求,一般来说是不足以保证不动点的存在的,例如映射T : [1,∞) → [1,∞),T(x) = x + 1/x,就没有不动点。但是,如果空间X是紧的,则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。
当实际应用这个定理时,最艰难的部分通常是如何恰当地定义X,使T把元素从X映射到X,即Tx总是X的一个元素。
选择任何
。如果
,则不必证明;以下设
。对于每一个
,定义
。我们声称对于所有的
,以下等式都成立:
。
我们用数学归纳法来证明。对于
的情况,命题是成立的,这是因为:
。
假设命题对于某个
是成立的。那么,我们有:
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| 。 |
从第三行到第四行,我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理,对于所有的
,以上的命题都成立。
设
。由于
,我们便可以找出一个较大的
,使得:
。
利用以上的命题,我们便有对于任何
,
以及
,都有:
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| 。 |
第一行的不等式可以从三角不等式推出;第四行的级数是一个几何级数,其中
,因此它收敛。以上表明
是
内的一个柯西序列,所以根据完备性,它是收敛的。因此设
。我们作出两个声明:第一,
是
的一个不动点,也就是说,
;第二,
是
在
中的唯一的不动点。
为了证明第一个命题,我们注意到对于任何的
,都有:
。
由于当
时,
,因此根据夹挤定理,可知
。这表明当
时,
。但当
时,
,且极限是唯一的;因此,一定是
的情况。
为了证明第二个命题,我们假设
也满足
。那么:
。
由于
,因此上式意味着
,这表明
,于是根据正定性,
,定理得证。
巴拿赫不动点定理有许多逆定理,以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的:
设
为一个抽象集合的映射,使得每一个迭代f n都有一个唯一的不动点。设q为一个实数,0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量,使得f是压缩映射,且q是压缩常数。
一个有趣的事实是,若把某国的地图缩小后印在该国领土内部,那么在地图上有且仅有这样一个点,它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下:
- 为了方便起见,这里把地球近似看作是正球体。
- 首先,按照经纬度可以给地球表面上每一个点标出坐标 (x, y),其中前元是经度、后元是纬度。又定义地面上任意两点间的距离 d(A, B) 是 A 到 B 间大圆弧的弧长。
- 其次,把这国家的地图上的点按照其所代表点的实际经纬度标出坐标 (u, v)。
- 那么对于地图上任意一点 P 而言,它既在地图上表示地点 (up, vp),又实际在地面上占有点 (xp, yp)。显然,这构成了从集合 S={P|P 是地面上的点且 P 属于该国领土} 到其本身的映射,现记作 M(P)=M((xp, yp))=(up, vp)。
- 又因为地图是缩小的,即对于任意两个地点 A∈S、B∈S 而言,d(A, B)>d(M(A), M(B)),也即 M(P) 是一个压缩映射。
- 事实上,取实数 k>1 作为地图比例尺的分母、即 1:k,那么由比例尺的定义知 d(A, B)=kd(M(A), M(B)),两边同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。换言之,存在实数 q=1/k<1 满足对于 S 内所有的 A 和 B,d(M(A), M(B))≤qd(A, B),这里等号总是成立。
- 现在将 S 视为以 d 为度量的空间,那么它显然是一个完备度量空间。
- 根据巴拿赫不动点定理,M 在 S 内有且仅有一个不动点,即该点恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.
关于巴拿赫不动点定理的推广,请参见无穷维空间中的不动点定理。
- Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
- Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
- Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. 2001. ISBN 978-0-471-41825-2.
- William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
- Bourbawiki[永久失效連結]上巴拿赫不动点定理的证明