可数选择公理,指示为
,是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数。保羅·寇恩证明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合论(
)中是不可证明的。
足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有无限集合都是戴德金无限的(等价的说:有可数无限的真子集)。
对于开发数学分析特别有用,这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数(考虑为有理数的柯西序列的集合)。
是弱形式的选择公理(AC),它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个选择函数。AC明确的蕴涵了依赖选择公理(DC),而DC足够证明
。但是
要严格弱于DC(而DC严格弱于AC)。
作为应用
的例子,下面是所有无限集合是戴德金无限的一个证明(在
中):
- 设
是无限的。对于每个自然数
,设
是
的所有
元素子集的集合。因为
是无限的,每个
是非空的。對序列
应用
,便得到了序列(
),这里的每个
是有
个元素的
的子集。 - 集合
可能是相交的,但是我们可以定义 ![{\displaystyle C_{0}=B_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc5725deeb6df9772dc5ec79710d186f42e7824)
是
与所有
的并集的差集,
。
- 明显的每个集合
都有至少1個和至多
个元素,而集合
是兩兩不相交的。再對序列
應用
,便得到了序列
,其中
。 - 所以所有
都是相異的,而
包含一个可数集合。定義把每个
映射到
的函数
(并固定所有
的其他元素),f是从
到
的一一映射,它不是满射,这证明了
是戴德金无限的。
本條目含有来自PlanetMath《axiom of countable choice》的內容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议。