數學 的分支範疇論 中,單子 (英語:monad ),又稱三元組(triple, triad )、標準構造(standard construction )、基本構造(fundamental construction )[ 1] ,是一個內函子 (即由某範疇 映到自身的函子 ),連同滿足特定連貫條件 的兩個自然變換 ,三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對 ,並將偏序集 上的闭包算子 推廣到任意範疇。
單子是一類內函子 (連同其他資訊)。例如,若 F {\displaystyle F} 和 G {\displaystyle G} 為一對伴隨函子 , F {\displaystyle F} 為 G {\displaystyle G} 的左伴隨,則複合 G ∘ F {\displaystyle G\circ F} 是單子。若 F {\displaystyle F} 與 G {\displaystyle G} 互為逆函子,則對應的單子是恆等函子 。一般而言,伴隨關係並不等同范畴的等价 ,而可以聯繫不同性質的範疇。為了探討伴隨關係所「保持」的性質,數學家研究單子論。理論的另一半,即藉考慮 F ∘ G {\displaystyle F\circ G} ,以研究伴隨關係,是單子論的對偶理論。該類函子稱為餘單子 (英語:comonad )。
本條目中, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 皆表示某範疇 。 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的單子 是函子 T : C → C {\displaystyle T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} ,連同兩個自然變換 ,分別是單位 η : 1 C → T {\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\to T} (其中 1 C {\displaystyle 1_{\mathcal {C}}} 是 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的恆等函子)與乘法 μ : T 2 → T {\displaystyle \mu :T^{2}\to T} (其中 T 2 {\displaystyle T^{2}} 是複合 T ∘ T {\displaystyle T\circ T} ,亦是 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 到 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的函子),且要滿足下列連貫條件 :
μ ∘ T μ = μ ∘ μ T {\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T} (左右皆為 T 3 → T {\displaystyle T^{3}\to T} 的自然變換)。此處 T μ {\displaystyle T\mu } 與 μ T {\displaystyle \mu T} 經水平複合 而得。 μ ∘ T η = μ ∘ η T = 1 T {\displaystyle \mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}} (兩者皆為 T → T {\displaystyle T\to T} 的自然變換)。此處 1 T {\displaystyle 1_{T}} 表示由函子 T {\displaystyle T} 到自身的恆等自然變換。 以上兩式,亦可以下列交換圖 複述:
記號 T μ {\displaystyle T\mu } 與 μ T {\displaystyle \mu T} 的含義,參見自然變換 ,又或考慮以下更具體的寫法,不用水平複合記號,並將各函子作用在任意物件 X {\displaystyle X} 上:
定義中,若將 μ {\displaystyle \mu } 當成幺半群的乘法,則第一條公理類似幺半群 的乘法結合律 ,而第二條公理類似單位元 的存在性(由 η {\displaystyle \eta } 給出)。準確而言, C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的單子,可以等價地定義為 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的內函子範疇 E n d C {\displaystyle \mathbf {End} _{\mathcal {C}}} 中的幺半群 。(該範疇的物件是 C {\displaystyle C} 上的內函子,而態射是內函子間的自然變換,幺半結構 來自內函子的複合運算。)如此,單子不僅在形式上具有與幺半群 相似的公理,甚而單子就是幺半群的特例。
冪集單子 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 是集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 上的單子。其定義中,函子 T {\displaystyle T} 取為冪集 運算,即 T ( A ) {\displaystyle T(A)} 為集合 A {\displaystyle A} 的冪集 ,而對於函數 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} , T ( f ) {\displaystyle T(f)} 將 A {\displaystyle A} 的子集映至其像集 ,即 T ( f ) ( A ′ ) = f [ A ′ ] {\displaystyle T(f)(A')=f[A']} 。對每個集合 A {\displaystyle A} ,有函數 η A : A → T ( A ) {\displaystyle \eta _{A}:A\to T(A)} ,對每個元素 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 映至單元子集 { a } {\displaystyle \{a\}} , 並有函數
μ A : T ( T ( A ) ) → T ( A ) , {\displaystyle \mu _{A}\colon T(T(A))\to T(A),} 將 A {\displaystyle A} 的若干個子集構成的族,映至該些子集的並集 。以上是冪集單子的定義。
兩個單子的複合,未必為單子。舉例,冪集單子 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 的二次疊代 P ∘ P {\displaystyle {\mathcal {P}}\circ {\mathcal {P}}} ,無法配備單子結構。[ 2]
取上節定義的範疇論對偶 ,便是餘單子 (或餘三元組 )的定義。簡單複述,範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的餘單子,是對偶範疇 C o p {\displaystyle C^{\mathrm {op} }} 上的單子。所以,餘單子是由 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 到 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的某個函子 U {\displaystyle U} ,連同餘單位 與餘乘法 (英語:counit and comultiplication )兩個自然變換,組成的整體,而三者所要滿足的公理,是將原定義中所有態射反轉方向而得。
單子之於幺半群,如同餘單子之於餘幺半群 。每個集合皆是餘幺半群,且僅有唯一一種方式,所以抽象代數 中,較少考慮餘幺半群。然而,在線性代數 中,向量空間範疇 (配備張量積 )的餘幺半群較為重要,以餘代數 之名為人所知。
單子的概念最早由羅傑·戈德芒 於1958年提出[ 3] ,當時稱為「標準構造」(英語:standard construction )。實際上,該書用到的是餘單子,用作解決某個層餘調 問題。
其後,單子又出現於彼得·胡伯(Peter Huber )對範疇同倫 的研究中。該論文包含由任意一對伴隨函子得出單子的證明。[ 4]
1965年,海因里希·克萊斯利 [ 5] ,及塞缪尔·艾伦伯格 、約翰·柯曼·摩爾 二人[ 6] 分別獨立 證明反向的結論,即每個單子皆可由某對伴隨函子產生。後一篇論文中,將單子稱為「三元組」。
1963年,威廉·洛維爾 提出泛代數 的範疇論。1966年,弗雷德·林頓(Fred Linton )將該理論用單子的語言表達。[ 7] 單子本身來自拓撲 方面的考量,事先似乎比洛維爾的理論更難處理,但已成為用範疇論語言闡述泛代數的方法中,較常見的一個。現今常用的英文名稱monad 是1971年由桑德斯·麥克蘭恩 在《現職數學家用的範疇 》引入,以其類似單子論 中的同名哲學概念,即某種能生出其他所有事物的實體。
1980年代,歐金尼奧·莫吉 在理論計算機科學 中,利用單子,為電腦程式的若干方面建立模型,包括例外處理、邊界情況。[ 8] 此後,有多種函數式編程語言 仔細實作此想法,作為一種基本規律,同樣稱為單子 。2001年,若干數學家注意到,用單子研究程式標誌語意的方法,與洛維爾的理論,兩者之間有關聯。[ 9] 。此為代數與語義間的聯繫,是後來活躍的研究課題。
若有伴隨關係
F : C ⇄ D : G {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {D}}:G} (即 F {\displaystyle F} 為 G {\displaystyle G} 的左伴隨,下同),則由此有 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的單子。此普遍的構造,取內函子為複合
T = G ∘ F , {\displaystyle T=G\circ F,} 而單位自然變換來自伴隨的單位 η : id C → G ∘ F {\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\to G\circ F} ,乘法自然變換源自伴隨的餘單位 ε {\displaystyle \varepsilon } :
T 2 = G ∘ F ∘ G ∘ F → G ∘ ε ∘ F G ∘ F = T . {\displaystyle T^{2}=G\circ F\circ G\circ F\xrightarrow {G\circ \varepsilon \circ F} G\circ F=T.} 反之,給定單子,可以明確找回一對伴隨函子,使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的 T {\displaystyle T} 代數的艾倫伯格-摩爾範疇 C T {\displaystyle C^{T}} 。[ 10]
給定域 k {\displaystyle k} ,雙重對偶單子 (英語:double dualisation monad )源自伴隨關係
( − ) ∗ : V e c t k ⇄ V e c t k o p : ( − ) ∗ , {\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{\mathrm {op} }:(-)^{*},} 其中兩個函子 ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 皆將 k {\displaystyle k} 向量空间 V {\displaystyle V} 映至對偶空間 V ∗ := Hom ( V , k ) {\displaystyle V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)} ,所以對應的單子將向量空間 V {\displaystyle V} 映至雙對偶 V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} 。Kock (1970) 對此有更廣泛的討論。
偏序集 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 可以視為特殊的範疇,任意兩件物件之間有最多一支態射,且 x {\displaystyle x} 到 y {\displaystyle y} 有態射当且仅当 偏序中 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 。於是,偏序集之間的函子,即是保序映射,而伴隨函子對,則組成兩偏序集間的伽罗瓦连接 ,相應的單子是伽羅華連接的闭包算子 。
又舉例,設 G {\displaystyle G} 為群範疇 G r p {\displaystyle \mathbf {Grp} } 至集合范畴 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 的遺忘函子 ,將群 映至其基集,又設 F {\displaystyle F} 為自由 函子,由 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 到 G r p {\displaystyle \mathbf {Grp} } ,則 F {\displaystyle F} 是 G {\displaystyle G} 的左伴隨。此時,對應的單子 T = G ∘ F {\displaystyle T=G\circ F} 的作用是,輸入一個集合 X {\displaystyle X} ,輸出自由群 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 的基集,即字母取自 { x , x − 1 : x ∈ X } {\displaystyle \{x,x^{-1}:x\in X\}} ,且無相鄰兩個字母互為逆元的字串 的集合。
該單子的單位變換,由包含映射
η X : X → T ( X ) {\displaystyle \eta _{X}:X\rightarrow T(X)} 給出,該包含映射將 X {\displaystyle X} 的任意元素,看成僅得一個字元的字串,從而是 T ( X ) {\displaystyle T(X)} 的元素。最後,單子的乘法
μ X : T ( T ( X ) ) → T ( X ) {\displaystyle \mu _{X}:T(T(X))\rightarrow T(X)} 是串接 或「壓平」運算,將若干條字串組成的串,映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個自然變換 。
前述例子中,自由群可以推廣至其他種類的代數結構,即泛代数 意義下的任意一簇 代數。如此,每類代數定義了集合範疇上的一個單子。更重要的是,該類代數的範疇,可從單子找回,即單子的艾倫伯格-摩爾代數範疇,故單子可視為泛代數之簇的推廣。
另外,尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇 V e c t {\displaystyle \mathbf {Vect} } 上,若 T {\displaystyle T} 表示將向量空間 V {\displaystyle V} 映至其张量代数 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 的內函子,則相應有單位自然變換將 V {\displaystyle V} 嵌入到其张量代数 ,並有乘法自然變換,在 V {\displaystyle V} 處的分量是態射 T ( T ( V ) ) → T ( V ) {\displaystyle T(T(V))\to T(V)} ,將張量積之張量積展開化簡。
只要滿足某些不強的條件,無左伴隨的函子也可以產生單子,稱為餘密度單子 。例如,從有限集合範疇 F i n S e t {\displaystyle \mathbf {FinSet} } 到集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 的包含函子無法配備左伴隨,但其餘密度單子定義在 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 上,將任意集合 X {\displaystyle X} 映至其上所有超滤子 的集合 β X {\displaystyle \beta X} 。 類似例子見於Leinster (2013) 。
給定範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的單子 ( T , η , μ ) {\displaystyle (T,\eta ,\mu )} ,可以考慮 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中的 T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} 代數物件 。 T {\displaystyle T} 在該些物件上的作用,與單子的單位與乘法相容。具體而言, T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} 代數 ( x , h ) {\displaystyle (x,h)} 是 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中的物件 x {\displaystyle x} ,連同態射 h : T x → x {\displaystyle h:Tx\to x} (稱為該代數的結構映射 ),使得圖
及
皆可交換。
T {\displaystyle T} 代數間的態射 f : ( x , h ) → ( x ′ , h ′ ) {\displaystyle f:(x,h)\to (x',h')} 是 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中的態射 f : x → x ′ {\displaystyle f:x\to x'} ,且要使
可交換。於是, T {\displaystyle T} 代數及之間的態射組成範疇,稱為艾倫伯格-摩爾範疇 (英語:Eilenberg–Moore category ),記為 C T {\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}} .
若 T {\displaystyle T} 為前述自由群單子 ,則 T {\displaystyle T} 代數是集合 X {\displaystyle X} ,連同由 X {\displaystyle X} 生成的自由群 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 到 X {\displaystyle X} 的映射(求值 ,evaluation ),且該映射要滿足結合律 與單位元的公理。換言之, X {\displaystyle X} 本身就具有群結構,而 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 至 X {\displaystyle X} 的映射,是將字串按 X {\displaystyle X} 的群乘法,計算所得的結果
另一個例子是集合範疇上的分佈單子 (英語:distribution monad ) D {\displaystyle {\mathcal {D}}} ,其將集合 X {\displaystyle X} 映至其上所有有限支撐 的概率分佈 的集合。該等分佈,是函數 f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f:X\to [0,1]} ,僅於有限多個元素 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 處取值非零,而各元素處取值之和為 1 {\displaystyle 1} 。以符號表示,
D ( X ) = { f : X → [ 0 , 1 ] : # supp ( f ) < + ∞ , ∑ x ∈ X f ( x ) = 1 } . {\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty ,\\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}.} 可由定義證明,分佈單子上的代數,等同於凸集 ,即集合要配備二元運算 + r {\displaystyle +_{r}} (對每個 r ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle r\in [0,1]} ),滿足的公理比照歐氏空間 中,凸組合 ( x , y ) ↦ r x + ( 1 − r ) y {\displaystyle (x,y)\mapsto rx+(1-r)y} 具備的性質。[ 11] [ 12]
另一個有用的單子,是交換環 R {\displaystyle R} 的模範疇 M o d R {\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}} 上的對稱代數單子
Sym ∙ ( − ) : M o d R → M o d R {\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):\mathbf {Mod} _{R}\to \mathbf {Mod} _{R}} 將 R {\displaystyle R} 模 M {\displaystyle M} 映到各階對稱張量 冪的直和
Sym ∙ ( M ) = ⨁ k = 0 ∞ Sym k ( M ) {\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)} 其中 Sym 0 ( M ) = R {\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R} 。例如, Sym ∙ ( R ⊕ n ) ≅ R [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]} ,左右兩邊作為 R {\displaystyle R} 模同構。如此,對稱代數單子上的代數,是交換 R {\displaystyle R} 代數 。類似地,也有反對稱張量 單子 Alt ∙ ( − ) {\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)} 與全張量單子 T ∙ ( − ) {\displaystyle T^{\bullet }(-)} ,相應的代數分別是反對稱 R {\displaystyle R} 代數與自由 R {\displaystyle R} 代數,故
Alt ∙ ( R ⊕ n ) = R ( x 1 , … , x n ) , T ∙ ( R ⊕ n ) = R ⟨ x 1 , … , x n ⟩ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,\end{aligned}}} 前者是 R {\displaystyle R} 上添加 n {\displaystyle n} 個生成元的自由反對稱代數,而後者則是 n {\displaystyle n} 個生成元的自由代數。
對於可交換 S {\displaystyle \mathbb {S} } 代數 ,亦有類似的構造,[ 13] :113 對於可交換 S {\displaystyle \mathbb {S} } 代數 A {\displaystyle A} ,對應單子上的代數是可交換的 A {\displaystyle A} 代數。若 M o d A {\displaystyle \mathbf {Mod} _{A}} 表示 A {\displaystyle A} 模的範疇,則可以考慮函子 P : M o d A → M o d A {\displaystyle \mathbb {P} :\mathbf {Mod} _{A}\to \mathbf {Mod} _{A}} ,定義為
P ( M ) = ⋁ j ≥ 0 M j / Σ j , {\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j},} 其中
M j = M ∧ A ⋯ ∧ A M ⏟ j . {\displaystyle M^{j}=\underbrace {M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M} _{j}.} 此函子是單子,而由該單子上的代數範疇,可以得到可交換 A {\displaystyle A} 代數的範疇 C A {\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}} 。
如前文 所述,任何伴隨關係 皆產生單子。反之,每個單子 T {\displaystyle T} 皆可由某個伴隨關係產生,即原範疇與 T {\displaystyle T} 代數的艾倫伯格-摩爾範疇之間的自由-遺忘伴隨
T ( − ) : C ⇄ C T : F . {\displaystyle T(-):{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {C}}^{T}:F.} 其中,左伴隨 T ( − ) {\displaystyle T(-)} 將 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的物件 x {\displaystyle x} 映到自由 T {\displaystyle T} 代數 T ( x ) {\displaystyle T(x)} ,右伴隨 F {\displaystyle F} 則將 T {\displaystyle T} 代數 ( x , h ) {\displaystyle (x,h)} 遺忘掉 h {\displaystyle h} ,變回 x {\displaystyle x} 。然而,通常有多組不同的伴隨關係產生同樣的單子,該些伴隨關係組成範疇 A d j ( C , T ) {\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)} :物件是伴隨關係 ( F , G , η , ε ) {\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )} 使得 ( G F , η , G ε F ) = ( T , η , μ ) {\displaystyle (GF,\eta ,G\varepsilon F)=(T,\eta ,\mu )} ,而態射是在 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 一側為恆等函子的伴隨關係態射。如此,艾倫伯格-摩爾範疇的自由-遺忘伴隨 C T {\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}} 是 A d j ( C , T ) {\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)} 的終物件,而始物件是克萊斯利範疇 C T {\displaystyle {\mathcal {C}}_{T}} ,定義為 C T {\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}} 中的自由 T {\displaystyle T} 代數組成的完全子範疇 ,即僅包含形如 T ( x ) {\displaystyle T(x)} 的 T {\displaystyle T} 代數,其中 x {\displaystyle x} 歷遍 C {\displaystyle {\mathcal {\mathcal {C}}}} 的物件。
設有伴隨關係 ( F : C → D , G : D → C , η , ε ) {\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )} ,對應單子為 T {\displaystyle T} ,則函子 G {\displaystyle G} 可分解為
D → G ~ C T → F C , {\displaystyle {\mathcal {D}}\xrightarrow {\tilde {G}} {\mathcal {C}}^{T}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}},} 其中 F {\displaystyle F} 是遺忘函子。換言之,對 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 中任意物件 Y {\displaystyle Y} ,都能賦予 G ( Y ) {\displaystyle G(Y)} 自然的 T {\displaystyle T} 代數結構。若分解式中,首個函子 G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}} 給出 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 與 C T {\displaystyle C^{T}} 兩範疇間的等價 ,則形容該伴隨關係為單子的 (英語:monadic )。[ 14] 後亦引申用作形容函子,若函子 G : D → C {\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}} 有左伴隨 F {\displaystyle F} ,且該伴隨關係為單子的,則 G {\displaystyle G} 亦稱為單子的 。例如,群範疇 與集合範疇 間的自由-遺忘伴隨是單子的,因為相應單子 T {\displaystyle T} 上的 T {\displaystyle T} 代數是群(見前文 )。一般而言,若有伴隨關係 ( F : C → D , G : D → C , η , ε ) {\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )} 為單子的,則單從 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的物件及其上的 T {\displaystyle T} 作用,已足以重組出 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 的物件。
貝克單子性定理 給出伴隨關係在何種充要條件下為單子的。定理有以下簡化版:
若滿足以下三項條件:
G {\displaystyle G} 為保守函子 ,換言之, G {\displaystyle G} 反映同構 (英語:reflects isomorphisms ),即對 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 中每一支態射,其為同構當且僅當在 G {\displaystyle G} 作用下的像為 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中的同構; C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 有餘等化子 ; G {\displaystyle G} 保餘等化子 ; 則 G {\displaystyle G} 為單子的。
例如,由緊 豪斯多夫空间 範疇 C H a u s {\displaystyle \mathbf {CHaus} } 到集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 的遺忘函子是單子的。然而,由任意拓撲空間範疇 T o p {\displaystyle \mathbf {Top} } 到集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 的遺忘函子則並非單子的,而定理中,保守函子的條件不成立,因為有非緊或非豪斯多夫空間,之間存在連續雙射,但不為同胚 。[ 15] 貝克定理有對偶版本,刻劃餘單子伴隨關係,對拓撲斯論 及有關下降 的代数几何 課題有用。
餘單子的伴隨關係,首先有下列例子:
− ⊗ A B : M o d A ⇄ M o d B : F , {\displaystyle -\otimes _{A}B:\mathbf {Mod} _{A}\rightleftarrows \mathbf {Mod} _{B}:F,} 其中 A , B {\displaystyle A,B} 皆為交換環 ,左伴隨用到的張量積 ⊗ A {\displaystyle \otimes _{A}} 的定義中,選定了環同態 A → B {\displaystyle A\to B} ,而右伴隨 F {\displaystyle F} 是遺忘函子。根據貝克定理,當且僅當 B {\displaystyle B} 為忠實平坦 A {\displaystyle A} 模時,該伴隨為餘單子的。所以,可將配備下降數據(英語:descent datum ,即源自伴隨關係的餘單子的作用)的 B {\displaystyle B} 模,降成 A {\displaystyle A} 模。所得的忠實平坦下降 理論,廣泛應用於代數幾何。
函数式编程 中,會使用單子表達某類(有時有副作用的)順序式計算,見单子 (函数式编程) 。
範疇論邏輯中,藉闭包算子 、內代數 ,以及兩者與S4模態邏輯 、直觉主义逻辑 的關係,能以單子餘單子理論類比模态逻辑 。
亦可定義2-範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中的單子。
^ Barr, Michael; Wells, Charles. Toposes, Triples and Theories [拓撲斯、三元組與理論] (PDF) . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 278 (Springer-Verlag). 1985: 82 and 120 [2021-09-17 ] . ISBN 0-387-96115-1 . (原始内容存档 (PDF) 于2020-11-25). ^ Klin; Salamanca. Iterated Covariant Powerset is not a Monad [共變冪集疊代後不是單子]. Electronic Notes in Theoretical Computer Science. 2018-12-01, 341 : 261–276. doi:10.1016/j.entcs.2018.11.013 (英语) . ^ Godement, Roger. Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux [代數拓撲與層論]. Actualités Sci. Ind., Publ. Math. Univ. Strasbourg 1252 . Paris: Hermann. 1958: viii+283 pp (法语) . ^ Huber, Peter J. Homotopy theory in general categories [一般範疇的同倫論]. Mathematische Annalen. 1961, 144 (5): 361–385 (英语) . ^ Kleisli, Heinrich. Every standard construction is induced by a pair of adjoint functors [每個標準構造皆由某對伴隨函子產生]. Proceedings of the American Mathematical Society. 1965, 16 (3): 544–546 (英语) . ^ Eilenberg, Samuel ; Moore, John Coleman. Adjoint functors and triples [伴隨函子與三元組]. Am. J. Math. 1965, 9 : 301–398 (英语) . ^ Linton, Fred E. J. Some aspects of equational theories [等式理論的若干方面]. Proc. Conf. on Categorical Algebra at La Jolla. 1966: 84–95 (英语) . ^ Moggi, Eugenio. Notions on computation on monads [單子上的計算概念] (PDF) . [2021-09-25 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2011-03-22) (英语) . ^ Plotkin, Gordon; Power, John. Adequacy for Algebraic Effects [代數效果的適切性]. Proc. FOSSACS 2001. Lecture Notes in Computer Science 2030 . 2001: 1–24. doi:10.1007/3-540-45315-6_1 (英语) . ^ Riehl (2017 ,162) ^ Świrszcz, T. Monadic functors and convexity [單子函子與凸性]. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 1974, 22 : 39–42. MR 0390019 (英语) . ^ Jacobs, Bart. Convexity, Duality and Effects [凸性、對偶、作用]. Calude, C.S.; Sassone, V. (编). Theoretical Computer Science [理論電腦科學]. IFIP Advances in Information and Communication Technology 323 . 2010: 1–19. ISBN 978-3-642-15239-9 . doi:10.1007/978-3-642-15240-5_1 (英语) . ^ Basterra, M. André–Quillen cohomology of commutative S-algebras [交換S代數的André–Quillen上同調] . Journal of Pure and Applied Algebra. 1999-12-15, 144 (2): 111–143 [2021-09-18 ] . ISSN 0022-4049 . doi:10.1016/S0022-4049(98)00051-6 . (原始内容存档 于2022-01-30) (英语) . ^ MacLane (1978) 所用定義中,條件「等價」要再加強為「同構 」。 ^ MacLane (1978 ,§§VI.3, VI.9) Barr, Michael; Wells, Charles. Category Theory for Computing Science [電腦科學用的範疇論] (PDF) . 1999 [2021-09-24 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2021-12-30) (英语) . Kock, Anders. On Double Dualization Monads [論雙重對偶單子]. Mathematica Scandinavica. 1970, 27 : 151. doi:10.7146/math.scand.a-10995 (英语) . Leinster, Tom. Codensity and the ultrafilter monad [餘密度與超濾子單子]. Theory and Applications of Categories. 2013, 28 : 332–370. Bibcode:2012arXiv1209.3606L . arXiv:1209.3606 (英语) . MacLane, Saunders. Categories for the Working Mathematician [現職數學家用的範疇]. Graduate Texts in Mathematics 5 . 1978. ISBN 978-1-4419-3123-8 . doi:10.1007/978-1-4757-4721-8 (英语) . Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (编). Categorical Foundations. Special Topics in Order, Topology, Algebra, and Sheaf Theory [範疇基礎。序、拓撲、代數、層論特別專題]. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 97 . Cambridge: Cambridge University Press . 2004. ISBN 0-521-83414-7 . Zbl 1034.18001 (英语) . Riehl, Emily. Category Theory in Context [脈絡中的範疇論] (PDF) . 2017. ISBN 9780486820804 . (原始内容存档 (PDF) 于5 Apr 2021) (英语) . Turi, Daniele. Category Theory Lecture Notes [範疇論講義] (PDF) . 1996–2001 [2021-09-24 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2022-02-21) (英语) .