sin(x)+cos(x)的埃尔米特插值 不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等,而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。
埃尔米特插值是另一类插值问题,这类插值在给定的节点处,不但要求插值多项式的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处,插值多项式的一阶直至指定阶的导数值,也与被插函数的相应阶导数值相等,这样的插值称为埃尔米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的节点,提出的插值条件个数可以不同,若在某节点
,要求插值函数多项式的函数值,一阶导数值,直至
阶导数值均与被插函数的函数值相同及相应的导数值相等。我们称
为
重插值点节,因此,Hermite插值应给出两组数,一组为插值点
节点,另一组为相应的重数标号
。
若
,这就说明了给出的插值条件有
个,为了保证插值多项式的存在唯一性,这时的Hermite插值多项式应在
上求得,于是可作如下定义。
为
上充分光滑函数,对给定的插值定节
,及相应的重数标号
,
时,若有
满足
![{\displaystyle H^{l}(x_{i})=f(x_{i}){\mbox{ , }}l=0,1,\ldots ,m_{i-1};i=0,1,\ldots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56ca9af9cac34cf218937fdbd8bf0d7a467241c)
则称
为
关于节点
及重数标号
的Hermite插值多项式。
常用的Hermite插值为mi=2 的情况,即给定的插值节点{xi}ni=0 均为二重节点,更具体些,
,及插值节点{xi}ni=0,若有
满足
![{\displaystyle H_{2n+1}(x_{i})=f(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb25d49007e855e4c765f41bda3275738655411)
,就称H2n + 1(x)为f(x) 关于节点{xi}ni=0 的二重Hermite插值多项式。
f(x)关于节点{xi}ni=0的二重Hermite插值多项式存在且唯一。
若
,则为f(x)关于
上节点{xi}ni=0的二重Hermite插值多项式误差为
![{\displaystyle R_{2n+1}(x)=f(x)-H_{2n+1}(x)={\frac {f^{(2n+2)}(\xi )}{(2n+2)!}}\ w_{n}^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15248efbe6aa47d50fba7c65070bec768f646b6)
这里
- min{x0,x1,...,xn,x}≤ξ=ξ(x)≤max{x0,x1,...,xn,x}
- 韩丹夫,吴庆标.数值计算方法.浙江:浙江大学出版社,2006.6.
- Michelle Schatzman (2002). Numerical Analysis: A Mathematical Introduction, Chapter 4. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-850279-6.
- Endre Süli and David Mayers (2003). An Introduction to Numerical Analysis, Chapter 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.