提示:此条目页的主题不是
导子。
在同調代數中,阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」,以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。
考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之:給定兩個阿貝爾範疇
,及其間的加法函子
。假設
為左正合函子,換言之,對
中的任一短正合序列
![{\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183430a88117f1e77462cf34d4f84b2a353e81e1)
下列序列是正合的:
![{\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e387846618e40e0273195a0cf721226465e03a8e)
由此自然導出一個問題:如何自然地延長此正合序列?
的(右)導出函子是一族函子
,滿足
,且有相應的長正合序列:
![{\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edee779fd34156979d3757e799e7900c4af449c8)
導出函子可以視為
的右正合性的尺度。
今假設
中有充足的內射元。設
,根據假設,存在內射分解:
![{\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5649c3960ab6b38e091ffa63a88fd1c117581912)
取函子
,得到上鏈複形:
![{\displaystyle 0\to F(X)\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca8d9407403c9bb035efdc3c87d433763261e78)
定義
為其第
個上同調群,特別是有
。注意到兩點:
- 由於任兩個內射分解彼此同倫等價,函子
在同構的意義下是明確定義的。 - 若
是內射對象,取平凡分解
,可知當
時有
。
左導出函子的建構與右導出函子對偶。設
為右正合加法函子,並假設
有充足的射影元。對任一對象
,取一射影分解:
![{\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b76ce1da471cea35239d24b94acb6b79f5d3665)
取函子
,得到鏈複形:
![{\displaystyle \cdots \to G(P_{2})\to G(P_{1})\to G(P_{0})\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee82dfceaf0866fd5c18ba1a39724da58924764)
定義
為其第
個同調群,其性質類似右導出函子。
對於逆變函子也能定義導出函子,此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。
對於右導出函子的情形,任一短正合序列
給出長正合序列
![{\displaystyle \cdots \to R^{i-1}F(C)\to R^{i}F(A)\to R^{i}F(B)\to R^{i}F(C)\to R^{i+1}F(A)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613d7d7162f17a2d07ea047b1a2c0732aac76227)
對於左導出函子,相應的長正合序列形如
![{\displaystyle \cdots \to L^{i+1}G(C)\to L^{i}G(A)\to L^{i}G(B)\to L^{i}G(C)\to L^{i-1}G(C)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2107e1dc1f3d9473b38bc9503e70045b128aa6ea)
此外,這些長正合序列在下述意義下是「自然」的:
- 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
- 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。
這些性質是蛇引理的推論。
- 層上同調:對拓撲空間
,考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇,它有充足的內射元。整體截面函子
是左正合函子,相應的右導出函子即層上同調函子
。 - 平展上同調:平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
- Ext函子:設
為環,考慮
-模範疇,它有充足的內射元及射影元。對任一
-模
,函子
為左正合的,其右導出函子記為
。 - Tor函子:同樣考慮
-模範疇,對任一
-模
,函子
為右正合的,其左導出函子記為
。 - 群上同調:設
為群。所謂
-模是指被
作用的阿貝爾群,
-模範疇可以理解為
-模範疇。對任一
-模
,定義
,這是一個左正合函子,其右導出函子即群上同調函子
。
現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架。
- Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1