数学中,庞加莱度量(Poincaré metric),以昂利·庞加莱命名,描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。
在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型,在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系,等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上,通常表示为与 q-类似(Q-analog)的关系,这种形式不同于前两种。
复平面上的度量可写成一般形式
![{\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9512c45e1f17fb58c0c1f93143a87808bfae5d1c)
这里 λ 是 z 与
的一个实正函数。复平面上曲线 γ 的长度为
![{\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d4bc604aa533faf41ed137ceb8e52a77c9e1db)
复平面上子集 M 之面积是
![{\displaystyle {\mbox{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d923fcd5838f27cfa573603be9b35af03578ab)
这里
是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于
,故而行列式的平方根是
。复平面上的欧几里得体积形式为
,从而我们有
![{\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)=-2i\,dx\wedge dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864272c49841e9c80de85b27e03240b88a5e0719)
函数
称为度量的势能(potential of the metric),如果
![{\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebae52f6a939b5266e03583ced9c0b5e53e55bb2)
拉普拉斯–贝尔特拉米算子为
![{\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaa04864c0fd4153778b8aa2e039abf368b68fb)
度量的高斯曲率由
![{\displaystyle K=-\Delta \log \lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e810dd76de9fe65db56e2b57cba0eb6e7f8f54)
给出,这个曲率是里奇数量曲率的一半。
等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上,等距与坐标变换等价:即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而,比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量
而 T 是带有度量
的黎曼曲面,则映射
![{\displaystyle f:S\to T\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828e51435aa55ae5dcb7e8aca90210d2eec646f9)
以及
是等距当且仅当它是共形的以及
![{\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d00c06fe602530c270b7f2901ccf4477ee6170)
在这里,映射为共形的也就是条件
![{\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51064246935eca21ac6a11556f90669dfc5808e2)
即
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7825c8f73ec1e8a1591a2365cdaf2ca1d48c632)
庞加莱半平面模型中上半平面 H 的庞加莱度量张量为
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dzd{\overline {z}}}{y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4a9fbb27d32128b25df4dfd9bdbf1b622d3974)
这里我们记
。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是,如果我们记
![{\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2497aacb26bd5178d8fc3ed00567ade4b67bfe)
对
,则我们可算得
![{\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de37bbb09a8374ec20307749e3afb7847cb0c634)
与
![{\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3ed1dffc15427c4ea2718681e4773e85eed875)
无穷小变换为
![{\displaystyle dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0576d07d45488cfeb08f67d949196b1279c2719)
从而
![{\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bad5627cdb8be897170377e6e86188e7862a1c3)
这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。
不变体积元素为
![{\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b29c326206b27cb8024c45c5b1e26cef5a8270e)
对
度量为
![{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971b5dcd43cbe3b2e019e94cff02ac9eeb7ffeff)
![{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7e81b54872531618287065122e0b8cc1262669)
度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面
上任意四点
与
,交比定义为
![{\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132c51c5da34ae120e6ac30dd0d70a9ae0e788b1)
那么度量用交比表示为
![{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58df68b9da10f281a02a9c9cd1dbd5829f4c7b8c)
这里
与
是端点,位于实数轴上,测地线连接
与
。这些点是有顺序的故
位于
与
之间。
这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧(的一段),即端点位于实轴的上半圆周。
上半平面可以共形地映到单位圆盘,用莫比乌斯变换
![{\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06ff8c4ba18696eaa8859ea8755e77c50220582)
这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中,常数 z0 可取上半平面上任何一点;这个点将映为圆盘的中心。实数轴
映为单位圆盘的边界
。实常数
将圆盘旋转任意一个角度。
典范映射是
![{\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f082de8376a9e5401d707596fcdb4542c8aa9f)
将 i 映为圆盘的中心,0 映为圆盘的最低点。
庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘
上为
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f900cdede3a32dcd7dd2b7e354168458df83cbc9)
体积形式为
![{\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325f887dce0b7224da3f2ce5ec4db077b01cfc14)
对
的庞加莱度量为
![{\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daad57bb76fac2472b1b3ce9afc70382466f60a2)
这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。
穿孔圆盘坐标上的 J-不变量(J-invariant);这是 nome 的一个函数。
庞加莱圆盘坐标上的 J-不变量;注意这个圆盘比文中给出的典范坐标旋转了90度。 第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射:
![{\displaystyle q=exp(i\pi \tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c500c9b2e44623295de52b3b35e6f6fc7eb1cf2c)
这里 q 是 nome(Nome),
是半周期比例(half-period ratio)。在上一节的记号中,
是上半平面
的坐标。这个映射映到穿孔圆盘,因为值 q=0 不在映射的像中。
上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dqd{\overline {q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0104aa901baab546479da36f2cdcab064f7f3743)
度量的势能是
![{\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4ffc30ee913d4d266cbab15cb78cfd95c79e3d)
庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广,称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理(Schwarz-Alhfors-Pick theorem)。
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
- Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)