几何中心 - 维基百科,自由的百科全书
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n 维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说,它是X中所有点的平均。如果一個物件質量分佈平均,形心便是重心。
如果一个对象具有一致的密度,或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心,那么它的几何中心和质量中心重合,该条件是充分但不是必要的。
有限个点总存在几何中心,可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。
性質
[编辑]一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部,比如一个环或碗的几何中心不在内部。
三角形的中心
[编辑]形心是三角形的幾何中心,是指三角形的三條中线(頂點和對邊的中點的連線)交點[1]。
三條中線共點證明
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用塞瓦定理逆定理可以直接證出:
因此三線共點。[2]
中心分每条中线比为2:1,这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的1/3。如右图所示:
如果三角形是由均匀材料做成的薄片,那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说,如果三顶点位于,,和,那么几何中心位于:
中心分中线为2:1的证明
[编辑]设三角形ABC的中线AD,BE和CF交于三角形的中心G,延长AD至点O使得
那么三角形AGE和AOC 相似(公共角A,AO = 2 AG,AC = 2 AE),所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长,所以OC平行于BG。同样的,OB平行于CG。
从而图形GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分,对角线GO和BC的交点使得GD = DO,这样
所以,,或,这对任何中线都成立。
性質
[编辑]- 三角形的重心與三頂點連線,所形成的三個三角形面積相等。
- 頂點到重心的距離是中線的。
- 外心、重心、九點圓圓心、垂心四點依次序共線,其中,此線稱為歐拉線。
- 內心、重心、斯俾克心、奈格爾點四點依次序共線,其中,此線稱為奈格爾線。
- 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。
- 在直角座標系中,若頂點的座標分別為、、,則重心的座標為:
- 三線坐標中、重心的座標為:
- 重心坐標中、重心的座標為:
四面体的中心
[编辑]类似三角形的中心的结论对四面体也成立,四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何-维单形。如果单形的顶点集是,将这些顶点看成向量,几何中心位于:
多边形的中心
[编辑]一个由N个顶点(xi , yi)确定的不自交闭多边形的中心能如下计算:[3]
记号( xN , yN)与顶点( x0 , y0)相同。多边形的面积为:
多边形的中心由下式给出:
有限点集的中心
[编辑]给定有限点集 属于,它们的中心定义为
- 。
面积中心
[编辑]面积中心和质量中心非常类似,面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的,质量中心将位于面积中心。[4]
对于两部分组成的图形,将有如下等式:
是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。是特定部分的面积。
当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时,先计算各部分的面积中心,然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心:
这里从y-轴到中心的距离是,从x-轴到中心的距离是,中心的坐标是。
积分公式
[编辑]一个平面图形的中心的横坐标(x轴)由积分
- 给出。
这里f(x)是对象位于在横坐标x点y轴上的长度,是在x图形的测度。这个公式能由区域关于y-轴的第一矩得出。
这个过程等价于取加权平均。假设y-轴表示频率,x-轴表示欲求平均值的变量,那么沿着x-轴的中心即 。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。
对任意维数n,由相同的公式得出中一个对象的中心第一个坐标,假设f (x)是对象在坐标x的截面(也就是说,对象中第一个坐标为x的所有点的集合)的(n-1)-维测度。
注意到分母恰是对象的n- 维测度。特别的,在f为正规时,即分母为1,中心也称为f的平均。
当对象的测度为0或者积分发散,这个公式无效。
圆锥和棱锥的中心
[编辑]圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上,分比为3:1。
对称中心
[编辑]如果中心确定了,那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心,取决于对称的种类。另外可以知道,如果一个对象具有传递对称性,那么它的中心是不确定的或不在内部,因为一个传递变换群没有不动点。
地理中心
[编辑]参见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ 幾何原本ISBN 957-603-016-1
- ^ 幾何明珠ISBN 957-603-197-4
- ^ Calculating the area and centroid of a polygon. [2008-10-16]. (原始内容存档于2008-10-16).
- ^ Area Centroid. [2008-10-16]. (原始内容存档于2008-10-20).
外部链接
[编辑]- Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
- Triangle centers(页面存档备份,存于互联网档案馆) by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
- Characteristic Property of Centroid(页面存档备份,存于互联网档案馆) at cut-the-knot
- Barycentric Coordinates(页面存档备份,存于互联网档案馆) at cut-the-knot
- Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x) (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Interactive animations showing Centroid of a triangle(页面存档备份,存于互联网档案馆) and Centroid construction with compass and straightedge(页面存档备份,存于互联网档案馆)
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