數系 - 维基百科,自由的百科全书
數系的邏輯
[编辑]自然數
[编辑]皮亞諾〔Giuseppe Peano〕替自然數建立以下的定義:
- 自然數中有0。
- 每一個自然數都必須有下一個自然數,並以S(a)表示。
- 自然數0前沒有自然數。
- 不同的自然數的下一個自然數都不同,即a=b即代表S(a)=S(b),相反亦成立。
- 若一個特性0擁有,而往後的自然數都擁有,這特性則視為自然數擁有。
根據皮亚诺公理這五個定義,所有自然數的特性皆可推斷。而數一則以1=S(0)表示。
數系皆擁有等價關係,即:
- 自反性:
- 对称性:
- 传递性:
定義下自然數可進行運算,以下為加法的定義:
- a + 0 = a
- a + S(b) = S(a + b)
〔這暗示S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1,所以以下S(x)皆會寫成x + 1〕
以下為乘法的定義:
- a × 0 = 0
- a × (b + 1) = a × b + a
〔a × b亦可寫成a ‧ b或是ab〕
以下為指數的定義:
- a0 = 1
- ab + 1 = ab × a
〔ab亦會寫成a ^ b或是a ** b,特別是當上標不可使用的時候〕
整數
[编辑]自然數可以以下方式擴展成整數,每一個非零的自然數a,就會出現一個整數-a,而它不是一個自然數。特別情形-0則定義為自然數0。後續函數亦可以S(-a) = - S(a - 1)的法則擴展至整數。
加法將以以下方法定義:
- 若a及b皆自然數,則-a + -b = -(a + b)。
- 若a為整數,則a + 0 = a。
- 若b為一非零整數,則a + b = (a - 1) + S(b)。
減法定義與加法相同,即a - b = a + - b。
乘法定義與自然數定義相同,但加入負負得正,負正得負的理念:
- 若a及b皆自然數,則a × -b = -a × b = -(ab)
- 若a及b皆自然數,則-a × -b = a × b = ab
有理數是整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱,是整數和分數的集合。
由於任何一個整數或分數都可以化為十進製循環小數,反之,每一個十進製循環小數也能化為整數或分數,因此,有理數也可以定義為十進製循環小數。
在實數範圍內有理數和無理數都有無窮多個,兩者似乎是「同樣多」的。但從高等數學裏的「測度論」的角度來理解的話,無理數的測度要大於有理數的測度,所以無理數要比有理數「多一些」。如:根據測度論,在閉區間[0,1]內,有理數的測度為0,而無理數的測度為1。所以,在閉區間[0,1]內,無理數的個數要「遠多於」有理數的個數。
无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。四种常见的无理数有无限不循环小数、含有π的数、开方开不尽的数、某些三角函数值。
判断一个数是不是无理数,关键就看它能不能写出无限不循环小数。
常见的无理数类型有如下几种。
1.无限不循环小数:如圆周率π、自然对数的底数e等。 2.根式中开方开不尽的数:如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。
【注】
- 两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)仍是有理数。
- 两个无理数的和、差、积、商可以是有理数,也可以是无理数。
- * # (1)无理数的和、差、积、商为有理数:如e+(1-e)、e-e、“根号2”的平方、e/e等。
- * # (2)无理数的和、差、积、商为无理数:π+e、π-e、πxe,π/e。
若某複數a+bi中的b若等於0,此複數就為實數。
若某複數a+bi中的b不等於0,就為虛數。 此外,若a+bi中的a等於0,就為純虛數。