相关 (概率论) - 维基百科,自由的百科全书
上级分类 | 關係 ![]() |
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所属实体 | 統計學、概率论 ![]() |
话题方面 | 統計學 ![]() |
研究学科 | 統計學 ![]() |
Stack Exchange標籤 | https://stats.stackexchange.com/tags/correlation ![]() |
相关(Correlation),又称为相关性、关联,在概率论和统计学中,相关显示了两个或几个随机变量之间线性关系的强度和方向。在统计学中,相关的意义是:用来衡量两个变量相对于其相互独立的距离。在这个广义的定义下,有许多根据数据特点用来衡量数据相关性而定义的系数,称作 相关系数。通常使用相关系数来计量这些随机变量协同变化的程度,当随机变量间呈现同一方向的变化趋势时称为正相关,反之则称为负相关。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Correlation_examples2.svg/400px-Correlation_examples2.svg.png)
历史
[编辑]英国生物学家和统计学家弗朗西斯·高尔顿首先提出“相关”这一概念,英国数学家卡尔·皮尔逊在此基础上做出了进一步发展。
各種相關係數
[编辑]对于不同測量尺度的變數,有不同的相關系数可用:
- 皮尔逊相关系数(Pearson's r):衡量兩個等距尺度或等比尺度變數之相關性。是最常見的,也是學習統計學時第一個接觸的相關係數。
- 淨相關(英語:partial correlation):在模型中有多個自變數(或解釋變數)時,去除掉其他自變數的影響,只衡量特定一個自變數與因變數之間的相關性。自變數和因變數皆為連續變數。
- 相關比(英語:correlation ratio):衡量兩個連續變數之相關性。
- Gamma相關係數:衡量兩個次序尺度變數之相關性。
- 斯皮尔曼等级相关系数:衡量兩個次序尺度變數之相關性。
- 肯德尔等級相關係數:衡量兩個人為次序尺度變數(原始資料為等距尺度)之相關性。
- 肯德尔和諧係數:衡量兩個次序尺度變數之相關性。
- Phi相關係數(英語:Phi coefficient):衡量兩個真正名目尺度的二分變數之相關性。
- 列聯相關係數(英語:contingency coefficient):衡量兩個真正名目尺度變數之相關性。
- 四分相關(英語:tetrachoric correlation):衡量兩個人為名目尺度(原始資料為等距尺度)的二分變數之相關性。
- Kappa一致性係數(英語:K coefficient of agreement):衡量兩個名目尺度變數之相關性。
- 點二系列相關係數(英語:point-biserial correlation):X變數是真正名目尺度二分變數。Y變數是連續變數。
- 二系列相關係數(英語:biserial correlation):X變數是人為名目尺度二分變數。Y變數是連續變數。
皮尔逊积差系数
[编辑]数学特征
[编辑]- ,
因为,,同样地,对于,可以写成
- 。
当两个变量的標準差都不为零,相关系数才有定义。从柯西-施瓦茨不等式可知,相关系数的絕對值不超过1。当两个变量的线性关系增强时,相关系数趋于1或-1。当一个变量增加而另一变量也增加时,相关系数大于0。当一个变量的增加而另一变量减少时,相关系数小于0。当两个变量独立时,相关系数为0,但反之并不成立。这是因为相关系数仅仅反映了两个变量之间是否线性相关。比如说,X是区间[-1,1]上的一个均匀分布的随机变量。Y = X2.那么Y是完全由X确定。因此Y和X不独立,但相关系数为0。或者说他们是不相关的。当Y和X服从联合正态分布时,其相互独立和不相关是等价的。
当一个或两个变量带有测量误差时,他们的相关性就受到削弱,这时,“反衰减”性(disattenuation)是一个更准确的系数。
几何特征
[编辑]对于居中的数据来说(何谓居中?也就是每个数据减去样本均值,居中后它们的平均值就为0),相关系数可以看作是两个随机变量中得到的样本集向量之间夹角的cosine函数。一些实际工作者更喜欢用非居中的相关系数(与皮尔逊系数不相兼容)。看下面的例子中有一个比较。例如,假设五个国家的国民生产总值分别是1、2、3、5、8(单位10亿美元),又假设这五个国家的贫困比例分别是11%、12%、13%、15%、18%。则我们现在有两个有序的包含5个元素的向量x、y:x =(1, 2, 3, 5, 8)、 y =(0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18) 使用一般的方法来计算向量间夹角(参考数量积),未居中的相关性系数如下:
- 。
上面的数据实际上是故意选择了一个完美的线性关系:y = 0.10 + 0.01 x。因此皮尔逊相关系数应该就是1。把数据居中(x中数据减去E (x) = 3.8,y中数据减去E (y) = 0.138)后得到:x =(−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2)、y =(−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042),由此得到了预期结果:
- ,
统计学上的相关
[编辑]样本相关系数
[编辑]对于样本对,相关系数的计算过程可表示为:将每个变量都通过减去平均值、再除以校正标准差后转化为标准单位,乘积的平均值,再经过贝塞尔校正即为相关系数[1]。
两个变量的关系可以直观地用散点图表示,当其紧密地群聚于一条直线的周围时,变量间存在强相关[2]。
一个散点图可以用五个统计量来概括:所有值的平均数,所有值的校正标准差(即样本标准差),所有值的平均数,所有值的校正标准差,相关系数。
其中:
那么:
或写成:
- ,
其中为贝塞尔校正。
參考文獻
[编辑]- ^ David Freedman; Robert Pisani, Roger Purves. Statistics. Norton & Company. 1998: 148. ISBN 9780393960433. 3 (英语).
- ^ David Freedman; Robert Pisani, Roger Purves. Statistics. Norton & Company. 1998: 156. ISBN 9780393960433. 3 (英语).
参见
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