磁矩 是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場 的磁鐵 ,會感受到力矩 ,促使其磁矩沿外磁場的磁場線 方向排列。磁矩可以用向量 表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極 指向指北極 ,磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩,載流迴路 、電子 、分子 或行星 等等,都具有磁矩。
科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子 。一般磁性物質 的磁場,其泰勒展開 的多極展開式 ,由於磁單極子 項目恆等於零,第一個項目是磁偶極子 項、第二個項目是磁四極子 (quadrupole )項,以此类推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等,可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠,磁偶極矩部分會變得越加重要,成為主要項目,因此,磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內,磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同[ 1] 。
一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流 乘以迴路面積:
μ = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} ; 其中, μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!} 為磁偶極矩, I {\displaystyle I\,\!} 為電流, a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則 決定。
處於外磁場的載流迴圈,其感受到的力矩和其勢能 與磁偶極矩的關係為:
τ = μ × B {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!} 、 U = − μ ⋅ B {\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!} ; 其中, τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 為力矩, B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} 為磁場, U {\displaystyle U\,\!} 為勢能。
許多基本粒子 ,例如電子 ,都具有內稟磁矩 。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源,許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同,而是和粒子的自旋 有關,必須用量子力學 來解釋。這些內稟磁矩是量子化 的,最小的基本單位,常常稱為「磁子 」(magneton )。例如,電子自旋 的磁矩與波耳磁子 的關係式為:
μ s = − g s μ B S / ℏ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}=-g_{s}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!} ; 其中, μ s {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}\,\!} 為電子自旋的磁矩,電子自旋g因子 g s {\displaystyle g_{s}\,\!} 是一項比例常數, μ B {\displaystyle \mu _{B}\,\!} 為波耳磁子 , S {\displaystyle \mathbf {S} \,\!} 為電子的自旋 , ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 是約化普朗克常數 。
採用國際單位制 ,磁偶極矩的因次 是面積 ×電流 。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法:
1 安培 ·公尺2 = 1 焦耳 /特斯拉 。 CGS單位制 又可細分為幾種亞單位制:靜電單位制 (electrostatic units ),電磁單位制 (electromagnetic units )、高斯單位制 。
磁偶極矩單位轉換表[ 2] 光速 c = 29,979,245,800 ≈ 3·1010 語言 國際單位制 靜電單位制 電磁單位制 高斯單位制 中文 1 安培 ·公尺2 = 1 焦耳 /特斯拉 = (103 c ) 靜安培 ·公分2 = (103 ) 絕對安培 ·公分2 = (103 ) 爾格 /高斯 英文 1 A ·m 2 =1 J /T = (103 c ) statA·cm2 = (103 ) abA·cm2 = (103 ) erg /Gauss
磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分/秒的光速 。
在這篇文章內,所有的方程式都採用國際單位制。
在任何物理系統裏,磁矩最基本的源頭有兩種:
電荷 的運動,像電流,會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈(或者所有的電荷的位置和速度),理論上就可以計算出磁矩。 像電子、質子 一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數,可以用理論推導出來,得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如,電子磁矩的測量值是−9.284764×10−24 焦耳/特斯拉[ 3] 。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向(電子磁矩的測量值是負值,這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向)。 整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如,氫原子 的磁場是以下幾種磁矩的向量和:
電子的自旋。 電子環繞著質子的軌域運動。 質子的自旋。 再舉個例子,構成條形磁鐵的物質,其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和,是條形磁鐵的磁矩。
假設一個平面載流迴圈的面積向量為 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 、所載電流為 I {\displaystyle I\,\!} ,則其磁偶極矩為 μ = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} 。 對於最簡單的案例,平面載流迴圈的磁偶極矩 μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!} 是
μ = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} ; 其中, I {\displaystyle I\,\!} 是迴圈所載有的恆定電流, a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 是平面迴圈的面積向量。
面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則 給出:令四隻手指朝著電流方向彎曲,伸直大拇指,則大拇指所指的方向即是面積向量的方向,也是磁偶極矩的方向。
這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩,像磁四極矩,磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大,同時保持 μ = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} 不變,則所有更高階的磁矩會趨向於零,這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子,或純磁偶極子。
對於任意迴路案例,假設迴路載有恆定電流 I {\displaystyle I\,\!} ,則其磁偶極矩為
μ = I ∫ S d a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!} ; 其中, S {\displaystyle \mathbb {S} \,\!} 是積分曲面, C {\displaystyle \mathbb {C} \,\!} 是 S {\displaystyle \mathbb {S} \,\!} 邊緣的閉合迴路, d a {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!} 是微小面積元素, d ℓ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!} 是微小線元素, r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是 d ℓ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!} 的位置。
引用向量恆等式
∫ S d a = 1 2 ∮ C r × d ℓ {\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!} , 即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式
μ = I 2 ∮ C r × d ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!} 。 對於最廣義的任意電流分佈案例,磁偶極矩為
μ = 1 2 ∫ V r × J d V {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!} ; 其中, V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 是積分體積, r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是源電流位置, J {\displaystyle \mathbf {J} \,\!} 是電流密度 , d V {\displaystyle \mathrm {d} V\,\!} 是微小體積元素。
任意一群移動電荷,像旋轉的帶電固體,都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。
在原子物理學 和核子物理 學裏,磁矩的大小標記為 μ {\displaystyle \mu \,\!} ,通常測量單位為波耳磁子 或核磁子 (nuclear magneton )。磁矩關係到粒子的自旋,和/或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩:
一些基本粒子的內稟磁矩和自旋[ 4] 粒子 內稟磁矩(10−27 焦耳 /特斯拉 ) 自旋量子數 電子 -9284.764 1/2 質子 +14.106067 1/2 中子 -9.66236 1/2 緲子 -44.904478 1/2 重氫 +4.3307346 1 氫-3 +15.046094 1/2
欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係,請參閱條目磁化強度 。
磁偶極子的磁場線 。從側面望去,磁偶極子豎立於繪圖的中央。 載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是,隨著距離的增遠,這些多極項目會更快速地減小,因此,在遠距離位置,只有偶極項目是磁場的顯要項目。
思考一個載有恆定電流 I {\displaystyle I\,\!} 的任意局域迴路 C {\displaystyle \mathbb {C} \,\!} ,其磁矢勢 A {\displaystyle \mathbf {A} \,\!} 為
A ( r ) = μ 0 I 4 π ∮ C ′ d ℓ ′ | r − r ′ | {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} '}\ {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!} ; 其中, r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是檢驗位置, r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '\,\!} 是源頭位置,是微小線元素 d ℓ ′ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!} 的位置, μ 0 {\displaystyle \mu _{0}\,\!} 是磁常數 。
假設檢驗位置足夠遠, r > r ′ {\displaystyle r>r'\,\!} ,則表達式 1 | r − r ′ | {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!} 可以泰勒展開 為
1 | r − r ′ | = 1 r ∑ n = 0 ∞ ( r ′ r ) n P n ( cos θ ′ ) {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\ \left({\frac {r'}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta ')\,\!} ; 其中, P n ( cos θ ′ ) {\displaystyle P_{n}(\cos \theta ')\,\!} 是勒讓德多項式 , θ ′ {\displaystyle \theta '\,\!} 是 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 與 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '\,\!} 之間的夾角 。
所以,磁矢勢展開為
A ( r ) = μ 0 I 4 π ∑ n = 0 ∞ 1 r n + 1 ∮ C ′ ( r ′ ) n P n ( cos θ ′ ) d ℓ ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{r^{n+1}}}\oint _{\mathbb {C} '}\ (r')^{n}P_{n}(\cos \theta ')\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!} 。 思考 n = 0 {\displaystyle n=0\,\!} 項目,也就是磁單極子項目:
A 0 ( r ) = μ 0 I 4 π r ∮ C ′ d ℓ ′ = 0 {\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r}}\oint _{\mathbb {C} '}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'=0\,\!} 。 由於閉合迴路的向量線積分等於零,磁單極子項目恆等於零。
再思考 n = 1 {\displaystyle n=1\,\!} 項目,也就是磁偶極子項目:
A 1 ( r ) = μ 0 I 4 π r 2 ∮ C ′ r ′ cos θ ′ d ℓ ′ = μ 0 I 4 π r 2 ( − r ^ × ∮ S ′ d a ′ ) {\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ \oint _{\mathbb {C} '}\ r'\cos \theta '\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ (-{\hat {\mathbf {r} }}\times \oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} ')\,\!} 。 注意到磁偶極矩為 μ = I ∮ S ′ d a ′ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\,\!} ,偶極磁矢勢可以寫為
A 1 ( r ) = μ 0 4 π μ × r ^ r 2 {\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {{\boldsymbol {\mu }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}\,\!} 。 偶極磁場 B 1 {\displaystyle \mathbf {B} _{1}\,\!} 為
B 1 ( r ) = ∇ × A 1 ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )\,\!} 。 由於磁偶極子的向量勢有一個奇點 在它所處的位置(原點 O {\displaystyle \mathbf {O} } ),必須特別小心地計算,才能得到正確答案。更仔細地推導,可以得到磁場為
B 1 ( r ) = μ 0 4 π r 3 [ 3 ( μ ⋅ r ^ ) r ^ − μ ] + 2 μ 0 3 μ δ 3 ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!} ; 其中, δ 3 ( r ) {\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!} 是狄拉克δ函數 。
偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級 分裂,因而形成了超精細結構 (hyperfine structure )[ 5] 。在天文學 裏,氫原子 的超精細結構給出了21公分譜線 ,在電磁輻射 的無線電波 範圍,是除了3K背景輻射 以外,宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元 (recombination )至再電離紀元 (reionization )之間的天文學研究,只能依靠觀測21公分譜線無線電波。
給予幾個磁偶極矩,則按照疊加原理 ,其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。
處於均勻磁場的一個方形載流迴圈。 如圖右,假設載有電流 I {\displaystyle I\,\!} 的一個方形迴圈處於外磁場 B = B 0 z ^ {\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 。方形迴圈四個邊的邊長為 w {\displaystyle w\,\!} ,其中兩個與 y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!} 平行的邊垂直於外磁場,另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為 − θ + π / 2 {\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!} 。
垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為
τ = ( I w B 0 w sin θ 2 + I w B 0 w sin θ 2 ) y ^ = I w 2 B 0 sin θ y ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {\mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\,\!} 。 另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為 μ = I w 2 μ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!} 。所以,這迴圈感受到的磁力矩為
τ = μ × B {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!} 。 令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大,同時保持 μ = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} 不變,則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以,處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。
當磁偶極矩垂直於磁場時,磁力矩的大小是最大值 μ B 0 {\displaystyle \mu B_{0}\,\!} ;當磁偶極矩與磁場平行時,磁力矩等於零。
將載流迴圈從角弧 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}\,\!} 扭轉到角弧 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,\!} ,磁場所做的機械功 W {\displaystyle W\,\!} 為
W = − ∫ θ 1 θ 2 τ d θ = − ∫ θ 1 θ 2 μ B 0 sin θ d θ = μ B 0 ( cos θ 2 − cos θ 1 ) {\displaystyle W=-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}})\,\!} 。 注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向 ,而 θ {\displaystyle \theta \,\!} 是朝著順時針方向 遞增,所以必須添加一個負號。設定 θ 1 = π / 2 {\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!} ,則
W = μ B 0 cos θ 2 = μ ⋅ B {\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!} 。 對抗這磁場的磁力矩,將載流迴圈從角弧 π / 2 {\displaystyle \pi /2\,\!} 扭轉到角弧 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,\!} ,所做的機械功 W a {\displaystyle W_{a}\,\!} 為
W a = − W = − μ ⋅ B {\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!} 。 定義載流迴圈的勢能 U {\displaystyle U\,\!} 等於這機械功 W a {\displaystyle W_{a}\,\!} ,以方程式表示為
U = − μ ⋅ B {\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!} 。 與前段所述同理,磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時,勢能等於零;當磁偶極矩與磁場呈相同方向時,勢能是最小值 − μ B 0 {\displaystyle -\mu B_{0}\,\!} ;當磁偶極矩與磁場呈相反方向時,勢能是最大值 μ B 0 {\displaystyle \mu B_{0}\,\!} 。
假設外磁場為均勻磁場,則作用於載流迴路 C ′ {\displaystyle \mathbb {C} '\,\!} 的磁場力等於零:
F = I ∮ C ′ d ℓ ′ × B = 0 {\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times \mathbf {B} =0\,\!} 。 假設外磁場為非均勻的,則會有一股磁場力,作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同,求得的磁場力也會不同[ 6] 。採用常見的「電流模型」,則一個磁偶極子所感受到的磁場力為
F ℓ = ∇ ( μ ⋅ B ) {\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} )\,\!} 。 另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型,計算出的磁場力為
F d = ( μ ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!} 。 兩者之間的差別為
F l = F d + μ × ( ∇ × B ) {\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!} 。 假設,電流等於零,電場不含時間,則根據馬克士威-安培方程式 ,
∇ × B = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!} , 兩種模型計算出來的磁場力相等。可是,假設電流不等於零,或電場為含時電場,則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年,兩個不同的實驗,研究中子 的散射 於鐵磁性 物質,分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合[ 6] 。
一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如,載有1安培 電流,半徑 r ′ {\displaystyle r'\,\!} 為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈,其磁偶極矩為:
μ = π r ′ 2 I = π × 0.05 2 × 1 ≈ 0.008 [ A ⋅ m 2 ] = 0.008 [ J / T ] {\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!} 。 磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩,可以用來建立以下幾點論據:
假設場位置的距離 r {\displaystyle r\,\!} 超遠於迴圈半徑 r ′ = 0.05 m {\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!} ,則磁場會呈反立方減弱: 沿著迴圈的中心軸,磁矩與場位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 平行: B = μ 0 4 π r 3 2 μ = 4 π × 10 − 7 4 π r 3 × 2 × 0.008 ≈ 1.6 × 10 − 9 r 3 [ T ⋅ m 3 ] {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!} 。 在包含迴圈的平面的任意位置,磁矩垂直於場位置: B = − μ 0 4 π r 3 μ = − 4 π × 10 − 7 4 π r 3 × 0.008 ≈ − 0.8 × 10 − 9 r 3 [ T ⋅ m 3 ] {\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!} 。 負號表示平面任意位置案例與中心軸案例,這兩個案例的磁場呈相反方向。 假設在地球的某地方,地磁場 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} 的數值大約為0.5 高斯 (5×10−5 特斯拉 ),而且迴圈磁矩垂直於地磁場 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} ,則此迴圈所感受到的力矩為 τ ≈ 0.008 × 5 × 10 − 5 = 4 × 10 − 7 [ N ⋅ m ] {\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!} 。 應用力矩的觀念,可以製造出羅盤 。假設這羅盤的磁針,由於力矩的作用,從磁針的磁矩垂直於地磁場 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} ,旋轉至磁針的磁矩與地磁場 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} 呈相同方向,則這羅盤-地球系統釋放出的能量 U {\displaystyle U\,\!} 為 U ≈ 0.008 × 5 × 10 − 5 = 4 × 10 − 7 [ J ] {\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!} 。 由於羅盤懸浮系統的摩擦機制,這能量是以熱量的形式耗散淨盡。 螺線管三維電腦繪圖。 一個多匝線圈(或螺線管 )的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝(單層捲繞),只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數,就可得到總磁矩。然後,這總磁矩可以用來計算磁場,力矩,和儲存能量,方法與使用單匝線圈計算的方法相同。
假設螺線管的匝數為 N {\displaystyle N\,\!} ,每一匝線圈面積為 a {\displaystyle a\,\!} ,通過電流為 I {\displaystyle I\,\!} ,則其磁矩為
μ = N I a {\displaystyle \mu =NIa\,\!} 。 假設,一個點電荷 q {\displaystyle q\,\!} 以等速 v {\displaystyle v\,\!} 繞著z-軸,移動於半徑為 r {\displaystyle r\,\!} 的平面圓形路徑,則其電流為[ 7]
I = q v 2 π r {\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!} 。 其磁矩為
μ = q v 2 π r π r 2 = q v r 2 z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 。 其角動量 J {\displaystyle \mathbf {J} \,\!} 為
J = m v r z ^ {\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 。 其中, m {\displaystyle m\,\!} 是載電粒子的質量。
所以,磁矩與角動量的經典關係為
μ = q 2 m J {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}\mathbf {J} \,\!} 。 對於電子,這經典關係為
μ = − e 2 m e J {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}\mathbf {J} \,\!} ; 其中, m e {\displaystyle m_{e}\,\!} 是電子的質量, e {\displaystyle e\,\!} 是電子的絕對電量。
假設,這點電荷是個束縛於氫原子 內部的電子。由於離心力 等於庫侖吸引力 ,
1 4 π ϵ 0 e 2 r 2 = m e v 2 r {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!} ; 其中, ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}\,\!} 是電常數 。
現在施加外磁場 B = B z ^ {\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 於此氫原子,則會有額外的勞侖茲力 作用於電子。假設軌道半徑不變(這只是一個粗略計算),只有電子的速度改變為 v B {\displaystyle v_{B}\,\!} ,則
1 4 π ϵ 0 e 2 r 2 + e v B B = m e v B 2 r {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}}\,\!} 。 所以,
v B 2 − v 2 = ( v B + v ) ( v B − v ) = e v B B r m e {\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}}\,\!} 。 假設,兩個速度的差別 Δ v = v B − v {\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!} 超小,則
Δ v ≈ e B r 2 m e {\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}}\,\!} 。 所以,由於施加外磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} ,磁矩的變化為
Δ μ = − e Δ v r 2 z ^ = − e 2 r 2 4 m e B z ^ {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 。 注意到 Δ μ {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!} 與 B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} 呈相反方向,因而減弱了磁場。這是抗磁性 的經典解釋。可是,抗磁性是一種量子現像,經典解釋並不正確。
為了簡略計算,使用半經典方法[ 8] ,可以求出磁矩的變化為
Δ μ = − e 2 ⟨ r 2 ⟩ 4 m e B z ^ {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} ; 其中, ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!} 是半徑平方的期望值 。
電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子 屬性,涉及到量子力學 。詳盡細節,請參閱條目電子磁偶極矩 (electron magnetic dipole moment )。微觀的內稟磁矩集聚起來,形成了巨觀的磁效應和其它物理現象,例如電子自旋共振 。
電子的磁矩是
μ = − g e μ B S / ℏ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!} ; 其中, g e {\displaystyle g_{e}\,\!} 是電子的朗德g因子, μ B = e ℏ / 2 m e {\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!} 是波耳磁子 , S {\displaystyle \mathbf {S} \,\!} 是電子的自旋角動量。
按照前面 計算的經典結果, g e = 1 {\displaystyle g_{e}=1\,\!} ;但是,在狄拉克力學 裏, g e = 2 {\displaystyle g_{e}=2\,\!} ;更準確地,由於量子電動力學 效應,它的實際値稍微大些, g S = 2.002 319 304 36 {\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!} 。
請注意,由於這方程式內的負號,電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為,經典電磁學 的解釋為:假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷,這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向,這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理,帶有正電荷的正子 (電子的反粒子 ),其磁矩與自旋呈相同方向。
在原子內部,可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算,必須先將每一個電子的自旋總和,得到總自旋,再將每一個電子的軌角動量 總和,得到總軌角動量,最後用角動量耦合 (angular momentum coupling )方法將總自旋和總軌角動量總和,即可得到原子的總角動量。原子的磁矩 μ {\displaystyle \mu \,\!} 與總角動量 J {\displaystyle \mathbf {J} \,\!} 的關係為[ 9]
μ = − g J μ B J / ℏ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!} ; 其中, g J {\displaystyle g_{J}\,\!} 是原子獨特的朗德g因子 。
磁矩對於磁場方向的分量 μ z {\displaystyle \mu _{z}\,\!} 是
μ z = − g J μ B J z / ℏ {\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!} ; 其中, J z = J m ℏ {\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!} 是總角動量對於磁場方向的分量, J m {\displaystyle J_{m}\,\!} 是磁量子數 ,可以取2J+1個整數値,-J、 -J+1、…、J-1、J,之中的任意一個整數值。
因為電子帶有負電荷,所以 μ z {\displaystyle \mu _{z}\,\!} 是負值。
處於磁場的磁偶極子的動力學 ,不同於處於電場 的電偶極子 的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子,迫使它依著磁場線 排列。但是,力矩是角動量對於時間的導數。所以,會產生自旋進動 ,也就是說,自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為
1 γ d μ d t = μ × H {\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} \,\!} ; 其中, γ {\displaystyle \gamma \,\!} 是迴轉磁比率 (gyromagnetic ratio ) , H {\displaystyle \mathbf {H} \,\!} 是磁場。
注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數,而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分:
H = H e f f − λ γ μ d μ d t {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!} ; 其中, H e f f {\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!} 是有效磁場(外磁場加上任何自身場), λ {\displaystyle \lambda \,\!} 是阻尼 係數。
這樣,可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式 (Landau–Lifshitz–Gilbert equation )[ 10] :
1 γ d μ d t = μ × H e f f − λ γ μ μ × d μ d t {\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!} 。 方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動,第二個項目是阻尼項目,會使得進動漸漸減弱,最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。
核子系統是一種由核子 (質子 和中子 )組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核 的磁矩與其核子成員有關,從核磁矩的測量數據,更明確地,從核磁偶極矩的測量數據,可以研究這些量子性質。
雖然有些同位素 原子核的激發態 的衰變期 超長,大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態 。每一個同位素原子核的能態 都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩,其大小是一個常數,通過細心設計的實驗,可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值,就可以揭示核子波函數 的內涵。現今,有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值,也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。
任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言,一個分子的磁矩是下列貢獻的總和,按照典型強度從大至小列出:
假若有未配對電子,則是其自旋所產生的磁矩(順磁性 貢獻) 電子的軌域運動,處於基態時,所產生常與外磁場成正比的磁矩(抗磁性 貢獻) 依照核自旋組態,核自旋 所產生的總磁矩。 氧 分子,O2 ,由於其最外面的兩個未配對電子的自旋,具有強順磁性。 二氧化碳 分子,CO2 ,由於電子軌域運動而產生的,與外磁場成正比的,很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下,假若這分子是由具磁性的同位素組成,像13 C或17 O,則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。 氫 分子,H2 ,處於一個弱磁場(或零磁場),會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體 ,正氫 或仲氫 ,都具有這種物理性質。 ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 186, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 ^ Cardarelli, F., Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd , Springer: pp. 20–25, 2004, ISBN 1-8523-3682-X ^ 美國國家標準與技術研究院 (NIST)的實驗値:電子磁矩 (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) ^ 參閱美國國家標準與技術研究院的Fundamental Physical Constants 網頁: . [2010-04-10 ] . (原始内容存档 于2009-08-22). ^ Griffiths, David J., Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen (PDF) , American Journal of Physics, August 1982, 50 (8): pp. 698 [2010-04-11 ] , (原始内容存档 (PDF) 于2020-05-12) ^ 6.0 6.1 Boyer, Timothy H., The Force on a Magnetic Dipole (PDF) , American Journal of Physics, 1988, 56 (8): pp. 688–692, doi:10.1119/1.15501 [永久失效連結 ] ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 260–262, 1998, ISBN 0-13-805326-X ^ O'Dell, S. L.; Zia, R. K. P., Classical and semiclassical diamagnetism: A critique of treatment in elementary texts (PDF) , American Journal of Physics, Jan 1986, 54 (1): pp. 32–35 [永久失效連結 ] ^ RJD Tilley, Understanding Solids, John Wiley and Sons: pp. 368, 2004, ISBN 0470852755 ^ Stuart Alan Rice, Advances in chemical physics 128 , Wiley: pp. 208 ff , 2004, ISBN 0471445282