等变映射 - 维基百科,自由的百科全书
在数学中,一个等变映射(equivariant map)是两个集合之间与群作用交换的一个函数。具体地,设 G 是一个群,X 与 Y 是两个关联的 G-集合。一个函数 f : X → Y 称为等变,如果
- f(g·x) = g·f(x)
对所有 g ∈ G 与 x ∈ X 成立。注意如果其中一个或两个作用是右作用,则等变条件必须适当地修改:
- f(x·g) = f(x)·g ; (右-右)
- f(x·g) = g−1·f(x) ; (右-左)
- f(g·x) = f(x)·g−1 ; (左-右)
等变映射是 G-集合范畴(对一个取定的 G)中的同态。从而它们也称为 G-映射或 G-同态。G-集合的同构就是等变双射。
等变条件也能理解为下面的交换图表。注意 表示映射取元素 得到 。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Equivariant_commutative_diagram.png/175px-Equivariant_commutative_diagram.png)
交结映射
[编辑]对 G 的线性表示,由一个完全类似的定义。具体地说,如果 X 与 Y 是 G 的两个线性表示的表示空间,则一个线性映射 f : X → Y 称为这个表示的一个交结映射(intertinig map 或 intertwiner)如果它与 G 的作用交换。从而一个交结算子是两个线性表示/作用时等变映射的特例。
或者,G 在域 K 上表示的交结映射与 K[G]-模的一个模同态是同一个东西,这里 K[G]是 G 的群环。
在某些情形,如果 X 与 Y 都是不可约表示,则一个交结映射(若不是零映射)只有两个表示等价(即作为模是同构的)时才存在。这样的交结映射除了差一个乘法因子(K 中一个非零标量)是惟一的。这些性质当 K[G] 的像是具有中心 K d的单代数时成立(由所谓的舒尔引理:参见单模)。作为一个推论,在一些重要情形构造一个交结映射足够证明表示同样是有效的。
范畴描述
[编辑]等变映射可以直截了当地推广到任意范畴。任何群 G 可以视为一个具有一个对象的范畴(这个范畴中的态射就是 G 的元素)。给定任意范畴 C,在这个范畴 C 中 G 的一个表示是从 G 到 C 的一个函子。这样一个函子选出 C 的一个对象和这个对象的自同构的一个子群。例如,一个 G-几何等价于从 G 到集合范畴 Set 的一个函子,而线性表示等价于到一个域 K 上的向量空间范畴 VectK 的一个函子。
给定 G 在 C 中两个表示, ρ 和 σ,这两个表示之间一个等变映射不过是从 ρ 到 σ 的一个自然变换。把自然变换做为态射,我们可以构造 G 在 C 中所有表示的范畴。这恰是函子范畴 CG。
另一个例子,取 C = Top 拓扑空间范畴。G 在 Top 中一个表示是一个拓扑空间,G 连续作用它上面。则等变映射是表示之间的一个连续映射 f : X → Y,且与 G 的作用交换。