在概率论中, 对定义在相同样本空间[1]的两个随机变量
和
,其联合分布是同时对于
和
的概率分布。
对离散随机变量而言,联合分布概率质量函数为
,即
![{\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3bb15f84e30a0bc399a5e2fabb903aa3da91e1)
因为是概率分布函数,所以必须有
![{\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c81c1c94fe277e1e17ead44825f02bc94a67b2f)
类似地,对连续随机变量而言,联合分布概率密度函数为
,其中
和
分别代表
时
的条件分布以及
时
的条件分布;
和
分别代表
和
的边缘分布。
同样地,因为是概率分布函数,所以必须有
![{\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f371d2dc731162590879d0e14817af5f1ab183)
對於兩相互獨立的事件
及
,任意x和y而言有离散随机变量
,或者有连续随机变量
。
2元联合分布可以推广到任意多元的情况
![{\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9514ae93e450c59aba7f4cce90a9d65f3c88a401)
- ^ Feller, William. An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition. 1957: 217–218. ISBN 978-0471257080 (Eng).