圖1:三維應力下的莫爾圓 莫爾圓 (Mohr's circle)得名自德國土木工程師克里斯汀·奧圖·莫爾 ,是一種用二維方式表示柯西应力张量 轉換關係的圖。
先針對假設為連續 的物體進行應力分析 ,之後特定一點的柯西应力张量分量會和坐標系 有關。莫爾圓是用圖形的方法去確認一個旋轉坐標系上的應力分量,也就是在同一點上,但是作用在不同方向平面上的分量。
圓上每一個點的橫坐標 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及縱坐標 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 都是在這個旋轉坐標系統上某一個方向的正應力及剪應力。換句話說,莫爾圓表示了在所有方向平面上應力狀態的軌跡,而X軸和Y軸為應力元素的主軸。
卡爾·卡爾曼 是第一個想到用圖形來表示應力的人,他是在分析水平樑承受彎曲 時的縱向應力及垂直應力時所想到的。莫爾的貢獻不止是用莫爾圓表示二維及三維的應力,他也根據莫爾圓發展了結構失效判定的準則[ 1] 。
其他表示應力狀態的方式有拉梅應力橢球 及柯西應力二次曲線(Cauchy's stress quadric)。
莫爾圓可以擴展到對稱 的 2x2 張量 ,包括應變 及轉動慣量 張量。
圖2:在有受力可變形物體(假設為連續體)中的應力F 考慮一個會變形的物體(假設為連續體),若受到外力(可能是表面力 或是物體力 ),物體的內部就會有力的分布。物體內部的力會依循歐拉運動定律 ,正如物體受力依循牛頓運動定律 一様。物體內部力的強度可以用應力 來表示。因為物體假設為連續體,其內部的力也是會均勻分佈在其體積中。
在工程中(例如結構工程 、機械工程 或土力工程 )會透過應力分析 來分析一物體中應力的的分佈,例如隧道中岩石的應力,飛機機翼的應力,或是建築物中樑柱的應力等。計算應力分布也就表示要知道物體中每一點的應力。據奧古斯丁·路易·柯西 的理論,(假設為連續體的)物體中任何一點的應力(圖2),可以完全由二階(2,0)型 的張量 中的九個應力元素 σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}} 完全決定,此二階張量稱為柯西应力张量 , σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} :
σ = [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] ≡ [ σ x x σ x y σ x z σ y x σ y y σ y z σ z x σ z y σ z z ] ≡ [ σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ] {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]} 圖3:連續體中的一點在平面應力條件下的應力轉換 若確定了一物體在特定坐標系統 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 下的應力分佈,有可能需要知道特定一點 P {\displaystyle P} 相對另一個有旋轉的坐標系統 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 下的應力張量,也就是在需要關注的點,在特定角度下的的應力張量。而此坐標系統 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 和原有的坐標系統 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 之間有一個角度差(圖3)。例如,一般會需要知道最大的正向應力以及最大的剪應力,也需要知道其對應的方向。因此,需要發展一種張量轉換的方式,可以配合坐標系統的旋轉得到新坐標系統的張量。依照張量 的定義,柯西应力张量遵守張量轉換定律。應力的莫爾圓是用圖解方式來說明柯西应力张量轉換定律的方式。
圖4:連續體中的一點在平面應力條件下的應力分量 在二維下,一點 P {\displaystyle P} 相對于垂直方向的應力張量可以用三個應力向量完全表示。在垂直坐標系統 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 下,其應力分量為:法向應力 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} 及 σ y {\displaystyle \sigma _{y}} ,以及剪應力 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 。由於角動量守恆,柯西應力張量會有對稱性,也就是 τ x y = τ y x {\displaystyle \tau _{xy}=\tau _{yx}} ,因此柯西應力張量可以寫成:
σ = [ σ x τ x y 0 τ x y σ y 0 0 0 0 ] ≡ [ σ x τ x y τ x y σ y ] {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]} 其目的是在另一個通過 P {\displaystyle P} 點,但存在角度差的坐標系統 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 下,找到應力分量 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} (圖4)。坐標系統 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 和原坐標系統 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 的角度差即為 θ {\displaystyle \theta } 。
要推導二維平面應力 及平面應變的莫爾圓方程,先考慮一個位在位置 P {\displaystyle P} 的二維的無限小方形元素(圖4),和 y {\displaystyle y} - z {\displaystyle z} 平面平行。
利用無限小元素上的力平衡,正向應力 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及剪應力 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 的大小為:
σ n = 1 2 ( σ x + σ y ) + 1 2 ( σ x − σ y ) cos 2 θ + τ x y sin 2 θ {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta } τ n = − 1 2 ( σ x − σ y ) sin 2 θ + τ x y cos 2 θ {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta } 上述二個方程也可以用柯西應力張量的張量變換定律來求得,這和在 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 方向用力平衡計算是等效的。
這二個方程是莫爾圓的參數式 。在方程中, 2 θ {\displaystyle 2\theta } 為參數,而 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 和 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 為坐標,因此表示若選擇適當的坐標系統,使 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 為橫軸, τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 縱軸,給定參數 θ {\displaystyle \theta } ,會給定在莫爾圓上的一點。
若從參數式中消去參數 2 θ {\displaystyle 2\theta } ,可以得到非參數式的莫爾圓方程。可以用重組 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 的方程來達到。先將第一式等號右側的第一項移到等號左邊,二式平方後相加,可得
[ σ n − 1 2 ( σ x + σ y ) ] 2 + τ n 2 = [ 1 2 ( σ x − σ y ) ] 2 + τ x y 2 ( σ n − σ a v g ) 2 + τ n 2 = R 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\\(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=R^{2}\end{aligned}}} 其中
R = [ 1 2 ( σ x − σ y ) ] 2 + τ x y 2 and σ a v g = 1 2 ( σ x + σ y ) {\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})} 這就是圓 (莫爾圓)的方程
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 在 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} 坐標系統中,其半徑 r = R {\displaystyle r=R} ,圓心在坐標 ( a , b ) = ( σ a v g , 0 ) {\displaystyle (a,b)=(\sigma _{\mathrm {avg} },0)} 處。
在使用莫爾圓時,需考慮兩組分別的符號體系,一個是針對實體空間下應力分量的符號體系,另一個是針對「莫爾圓空間」下應力分量的符號體系。此外,工程力學(結構工程 及機械工程 )文獻用的體系和地質力學 用的符號體系不同。沒有所有系統都適用的標準符號體系,是否要使用特定的符號體系取決於計算及詮釋特定問題的方便程度。
上述圖4的莫爾圓推導都是使用工程力學的符號體系,以下也會繼續使用工程力學的符號體系。
為了描述柯西應力張量的方便(圖3及圖4),應力分量的第一個下標表示應力分量作用的面,第二個下標表示應力分量的方向。因此 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 是作用在以 x {\displaystyle x} 軸正向為其法向量的平面上,而方向是往 y {\displaystyle y} 軸的正方向。
在實體空間符號體系,正的正向應力是由作用平面往外(張力),負的正向應力是由作用平面往內(壓縮力)(圖5)。
在實體空間符號體系中,正剪應力在法向量為正的材料元素平面上,其作用方向會往軸的正方向,同樣的,正剪力在法向量為負的材料元素平面上,其作用方向會往軸的負方向。例如作用在正向平面的剪應力 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 和 τ y x {\displaystyle \tau _{yx}} 為正,因為這二個剪應力的作用方向往 y {\displaystyle y} 軸及 x {\displaystyle x} 軸的正方向(圖3)。而相對應的作用在負向平面的剪應力 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 和 τ y x {\displaystyle \tau _{yx}} ,其作用方向往 y {\displaystyle y} 軸及 x {\displaystyle x} 軸的負方向,因此這二個剪應力也為正。
圖5 繪制莫爾圓時,工程力學符號體系下的應力。此條目會依照圖中的符號體系 # 3 在莫爾圓空間符號體系中,應力的符號體系和實體空間符號體系中的相同:正的正向應力是由作用平面往外(張力),負的正向應力是由作用平面往內(壓縮力)
不過剪應力的符號體系和實體空間符號體系中的不同。在莫爾圓空間符號體系中,正的剪應力會使材料往逆時針方向旋轉,而負的剪應力會使材料往順時針方向旋轉。因此在莫爾圓空間中,剪應力分量 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 為正,而 τ y x {\displaystyle \tau _{yx}} 為負。這和實體空間符號體系中 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 和 τ y x {\displaystyle \tau _{yx}} 符號相同的情形不同。
在繪製莫爾圓時,有二個作法可以繪製在數學上正確的莫爾圓:
將正的剪應力畫在上方(圖5,符號體系#1) 將正的剪應力畫在下方,也就是 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 軸倒置(圖5,符號體系#2) 將正的剪應力畫在上方會讓莫爾圓上的 2 θ {\displaystyle 2\theta } 角為正值時,旋轉方向是順時針旋轉,這和實體空間符號體系中的相反。因此有些作者[ 2] 會選擇讓正的剪應力畫在下方,這會讓莫爾圓上的 2 θ {\displaystyle 2\theta } 角為正值時,旋轉方向是逆時針旋轉,類似實體空間符號體系的情形。
為了克服剪應力軸往下才是正向的問題,有另外一種「替代的」符號體系,其中正的剪應力假設為將材料將順時針方向旋轉,而負的剪應力假設為將材料將逆時針方向旋轉(圖5,符號體系#3)。在「替代」體系下,正的剪應力軸往上,而且在莫爾圓上 2 θ {\displaystyle 2\theta } 為正值時,旋轉方向為逆時針。此符號體系產生的莫爾圓和圖5,符號體系#2中的相同,因為正的剪應力 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 也是會逆時針旋轉的剪應力,也畫在下方。而負的剪應力 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 也是會順時針旋轉的剪應力,也畫在上方。
此條目在實體空間符號體系中,會依照工程力學的符號體系,而在莫爾圓空間中,會使用「替代的」符號體系(圖5,符號體系#3)。
圖6:在平面應力及平面應變的條件下繪製莫爾圓(二倍角的作法) 在應力分析後,可以找到材料中一點 P {\displaystyle P} 上的應力分量 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} 、 σ y {\displaystyle \sigma _{y}} 及 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 。應力分量作用在二個互相垂直的 A {\displaystyle A} 平面及 B {\displaystyle B} 平面,兩者都通過 P {\displaystyle P} 點。莫爾圓上 A {\displaystyle A} 點和 B {\displaystyle B} 點的坐標是在 A {\displaystyle A} 平面及 B {\displaystyle B} 平面上的應力分量。因此可以用莫爾圓找到應力分量 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} ,也就是在同一點上,但作用在其他平面 D {\displaystyle D} 上的應力分量。 O B ¯ {\displaystyle {\overline {OB}}} 線和 O D ¯ {\displaystyle {\overline {OD}}} 線之間的夾角是通過 P {\displaystyle P} 點的平面 B {\displaystyle B} 和平面 D {\displaystyle D} 的法向量的夾角 假設已知待研究物體上的點 P {\displaystyle P} 的應力分量 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} 、 σ y {\displaystyle \sigma _{y}} 及 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} ,如圖4所示。以下方法可以繪製點 P {\displaystyle P} 的莫爾圓,以表示其應力狀態。
繪制笛卡爾坐標系統 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} ,橫軸為 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} ,縱軸為 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 。 在 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} 空間中,畫出二點 A ( σ y , τ x y ) {\displaystyle A(\sigma _{y},\tau _{xy})} 及 B ( σ x , − τ x y ) {\displaystyle B(\sigma _{x},-\tau _{xy})} ,分別是作用在二垂直平面 A {\displaystyle A} 平面和 B {\displaystyle B} 平面上的應力分量(圖4及圖6),需依照選擇的符號體系。 用線段 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 連接 A {\displaystyle A} 點和 B {\displaystyle B} 點,此即為圓的直徑。 繪製莫爾圓,其圓心 O {\displaystyle O} 是線段 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 的中點,也就是此線和 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 軸的交點。
主要應力的大小是點 C {\displaystyle C} 和點 E {\displaystyle E} (圖6中圓和 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 軸的交點)中的橫坐標。最大正向應力 σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} 的大小恆為這二個橫坐標中最大的那一個,而 σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} 最小正向應力的大小恆為這二個橫坐標中最小的那一個。這二個點的縱坐標為0,對應在主要平面上的剪應力為零,主要應力的大小也可以表示為
σ 1 = σ max = σ avg + R {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\max }=\sigma _{\text{avg}}+R} σ 2 = σ min = σ avg − R {\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{\min }=\sigma _{\text{avg}}-R} 其中平均正向應力 σ avg {\displaystyle \sigma _{\text{avg}}} 的大小是圓心 O {\displaystyle O} 的橫坐標,為
σ avg = 1 2 ( σ x + σ y ) {\displaystyle \sigma _{\text{avg}}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})} 其半徑的長度 R {\displaystyle R} 為
R = [ 1 2 ( σ x − σ y ) ] 2 + τ x y 2 {\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}} 最大剪應力和最小剪應力對應圓上最大及最小的縱坐標。這二個點是圓和通過圓心 O {\displaystyle O} 的垂直線的交點。因此,最大和最小剪應力的大小為圓的半徑 R {\displaystyle R}
τ max , min = ± R {\displaystyle \tau _{\max ,\min }=\pm R} 如前面所述,在二維應力分析後,可以知道在材料某一點 P {\displaystyle P} 上的應力分量 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} 、 σ y {\displaystyle \sigma _{y}} 及 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 。這些應力分量作用在通過 P {\displaystyle P} 點的二垂直平面 A {\displaystyle A} 及 B {\displaystyle B} ,如圖5及圖6所述。莫爾圓也可以計算在莫爾圓上 D {\displaystyle D} 的應力分量 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} ,事實是作用在 D {\displaystyle D} 平面上,此平面也通過 P {\displaystyle P} 點,和 B {\displaystyle B} 平面有夾角 θ {\displaystyle \theta } ,計算應力分量有二種方式:倍角法以及平面原點法(origin of planes)
如圖6所示,若平面 D {\displaystyle D} 是平面 B {\displaystyle B} 再逆時針旋轉角度 θ {\displaystyle \theta } 後的平面,要找到在平面 D {\displaystyle D} 上的應力分量 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} ,可以在莫爾圓上從已知應力點 B ( σ x , − τ x y ) {\displaystyle B(\sigma _{x},-\tau _{xy})} 同樣以逆時針旋轉,但旋轉角度 2 θ {\displaystyle 2\theta } ,旋轉到點 D ( σ n , τ n ) {\displaystyle D(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} ,也就是讓 O B ¯ {\displaystyle {\overline {OB}}} 線和 O D ¯ {\displaystyle {\overline {OD}}} 線之間的夾角是 2 θ {\displaystyle 2\theta } 。
倍角法的作法源自於通過 P {\displaystyle P} 點的二實際平面之間的夾角 θ {\displaystyle \theta } (圖4),是其對應應力點 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} 在莫爾圓上和圓心連線形成夾角的一半。
倍角關係是因為莫爾圓的參數式是 2 θ {\displaystyle 2\theta } 的函數。也可以從在材料點 P {\displaystyle P} 上的平面 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 夾角是90度,而在莫爾圓上其應力點夾角為180度看出(90度的兩倍)。
圖7:平面應力及應變的莫爾圓(極點法)。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交,交點表示在和直線相同角度平面上的應力狀態 第二種方式和要找到莫爾圓上的一個點,稱為極點(pole)或是平面原點(origin of planes)。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交,交點表示在和直線相同角度的平面上的應力狀態。因此若知道任何特定平面上的應力分量 σ {\displaystyle \sigma } 及 τ {\displaystyle \tau } ,可以畫一條線通過莫爾圓上的 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 和 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} ,且和平面平行,找到莫爾圓上這些線的交點,即為極點。例如,假設有應力狀態如圓7所示,其分量是 σ x , {\displaystyle \sigma _{x},\!} , σ y , {\displaystyle \sigma _{y},\!} 及 τ x y , {\displaystyle \tau _{xy},\!} 。首先先從 B {\displaystyle B} 點畫一條線,平行 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} 的作用平面,或是從 A {\displaystyle A} 點畫一條線,平行 σ y {\displaystyle \sigma _{y}} 的作用平面,任一條線都會和莫爾圓交會,交會的點即為極點。在找到極點後,若要找到和垂直有 θ {\displaystyle \theta } 夾角的平面上的應力,可以從極點畫一條平行該平面的線(見圖7)。可以根據直線和莫爾圓的交點找到平面上的正向應力以及剪應力。
最大主要應力及最小主要應力所在的平面方向也稱為主要平面(principal planes),可以用莫爾圓中 的∠BOC及∠BOE判斷,然後將二個角度都取一半。因此 O B ¯ {\displaystyle {\overline {OB}}} 和 O C ¯ {\displaystyle {\overline {OC}}} 之間的夾角是角∠BOC,是 θ p {\displaystyle \theta _{p}} (主要平面和平面 B {\displaystyle B} 夾角)角度的二倍。
而 θ p 1 {\displaystyle \theta _{p1}} 和 θ p 2 {\displaystyle \theta _{p2}} 也可以用以下的方程取得
tan 2 θ p = 2 τ x y σ x − σ y {\displaystyle \tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}} 此方程的解會是二個角度,彼此相差 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} 。可以直接用圓的幾何求解此方程,或是用圓的參數式,並且讓 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 等於零(主要平面上的剪應力為0)。
圖10 三維應力下的莫爾圖 若要繪製三維應力下的莫爾圖,需要先量測其主應力 的大小 ( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) {\displaystyle \left(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}\right)} 以及方向 ( n 1 , n 2 , n 3 ) {\displaystyle \left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)} 。
考慮以主應力軸為坐標系統,而不是用 x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} , x 3 {\displaystyle x_{3}} 坐標系統,並且假設 σ 1 > σ 2 > σ 3 {\displaystyle \sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}} ,則在一法向量為 n {\displaystyle \mathbf {n} } 的平面,其應力向量 T ( n ) {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}} 的應力分量及剪力分量會滿足下式
( T ( n ) ) 2 = σ i j σ i k n j n k σ n 2 + τ n 2 = σ 1 2 n 1 2 + σ 2 2 n 2 2 + σ 3 2 n 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(T^{(n)}\right)^{2}&=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}\\\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}\end{aligned}}} σ n = σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 . {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}.} 由於 n i n i = n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 = 1 {\displaystyle n_{i}n_{i}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1} ,可以用高斯消去法求解 n 1 2 {\displaystyle n_{1}^{2}} , n 2 2 {\displaystyle n_{2}^{2}} , n 3 2 {\displaystyle n_{3}^{2}} :
n 1 2 = τ n 2 + ( σ n − σ 2 ) ( σ n − σ 3 ) ( σ 1 − σ 2 ) ( σ 1 − σ 3 ) ≥ 0 n 2 2 = τ n 2 + ( σ n − σ 3 ) ( σ n − σ 1 ) ( σ 2 − σ 3 ) ( σ 2 − σ 1 ) ≥ 0 n 3 2 = τ n 2 + ( σ n − σ 1 ) ( σ n − σ 2 ) ( σ 3 − σ 1 ) ( σ 3 − σ 2 ) ≥ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})}{(\sigma _{1}-\sigma _{2})(\sigma _{1}-\sigma _{3})}}\geq 0\\n_{2}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})}{(\sigma _{2}-\sigma _{3})(\sigma _{2}-\sigma _{1})}}\geq 0\\n_{3}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})}{(\sigma _{3}-\sigma _{1})(\sigma _{3}-\sigma _{2})}}\geq 0.\end{aligned}}} 因為 σ 1 > σ 2 > σ 3 {\displaystyle \sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}} 及 ( n i ) 2 {\displaystyle (n_{i})^{2}} 都不是負值,因此其分子滿足
τ n 2 + ( σ n − σ 2 ) ( σ n − σ 3 ) ≥ 0 {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})\geq 0} 因為其分母 σ 1 − σ 2 > 0 {\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}>0} 而且 σ 1 − σ 3 > 0 {\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}>0} τ n 2 + ( σ n − σ 3 ) ( σ n − σ 1 ) ≤ 0 {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})\leq 0} 因為其分母 σ 2 − σ 3 > 0 {\displaystyle \sigma _{2}-\sigma _{3}>0} 而且 σ 2 − σ 1 < 0 {\displaystyle \sigma _{2}-\sigma _{1}<0} τ n 2 + ( σ n − σ 1 ) ( σ n − σ 2 ) ≥ 0 {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})\geq 0} 因為其分母 σ 3 − σ 1 < 0 {\displaystyle \sigma _{3}-\sigma _{1}<0} 而且 σ 3 − σ 2 < 0. {\displaystyle \sigma _{3}-\sigma _{2}<0.} 方程式可以寫成
τ n 2 + [ σ n − 1 2 ( σ 2 + σ 3 ) ] 2 ≥ ( 1 2 ( σ 2 − σ 3 ) ) 2 τ n 2 + [ σ n − 1 2 ( σ 1 + σ 3 ) ] 2 ≤ ( 1 2 ( σ 1 − σ 3 ) ) 2 τ n 2 + [ σ n − 1 2 ( σ 1 + σ 2 ) ] 2 ≥ ( 1 2 ( σ 1 − σ 2 ) ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{3})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3})\right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{3})\right]^{2}\leq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3})\right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\right)^{2}\\\end{aligned}}} 是三個應力莫爾圓 C 1 {\displaystyle C_{1}} , C 2 {\displaystyle C_{2}} 和 C 3 {\displaystyle C_{3}} 的方程,其半徑分別是 R 1 = 1 2 ( σ 2 − σ 3 ) {\displaystyle R_{1}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3})} , R 2 = 1 2 ( σ 1 − σ 3 ) {\displaystyle R_{2}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3})} 及 R 3 = 1 2 ( σ 1 − σ 2 ) {\displaystyle R_{3}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})} ,而其圓心分別在 [ 1 2 ( σ 2 + σ 3 ) , 0 ] {\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{3}),0\right]} , [ 1 2 ( σ 1 + σ 3 ) , 0 ] {\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{3}),0\right]} , [ 1 2 ( σ 1 + σ 2 ) , 0 ] {\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}),0\right]} 。
有了上述三個應力莫爾圓的方程,所有可能的應力點 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} 都會在三個應力莫爾圓之間的陰影區域(見圖10)。應力點 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} 可能滿足圓 C 1 {\displaystyle C_{1}} 的方程,或是在圓 C 1 {\displaystyle C_{1}} 的外面,可能滿足圓 C 2 {\displaystyle C_{2}} 的方程,或是在圓 C 2 {\displaystyle C_{2}} 的裡面,可能滿足圓 C 3 {\displaystyle C_{3}} 的方程,或是在圓 C 3 {\displaystyle C_{3}} 的外面。
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