貝祖等式 - 维基百科，自由的百科全书

  此條目介紹的是数论中的贝祖等式。关于代数几何中的贝祖定理，请见「贝祖定理」。

在数论中，裴蜀等式（英語：Bézout's identity）或貝祖定理（Bézout's lemma）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整數 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$ 和 ${\displaystyle m}$，关于未知数 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）：

${\displaystyle ax+by=m}$

有整数解时当且仅当 ${\displaystyle m}$ 是 ${\displaystyle a}$ 及 ${\displaystyle b}$ 的最大公约数 ${\displaystyle d}$ 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解 ${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$ 都稱為裴蜀數，可用擴展歐幾里得演算法求得。

例如，12 和 42 的最大公因數是 6，则方程 ${\displaystyle 12x+42y=6}$ 有解。事实上有 ${\displaystyle (-3)\times 12+1\times 42=6}$、${\displaystyle 4\times 12+(-1)\times 42=6}$等。

特别来说，方程 ${\displaystyle ax+by=1}$ 有整数解当且仅当整数 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：${\displaystyle d}$ 其實就是最小的可以寫成 ${\displaystyle ax+by}$ 形式的正整數。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克（法语：Claude-Gaspard Bachet de Méziriac）。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》（Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres）第二版中给出了问题的描述和证明^[1]。

然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明^[2]。

对任意两个整數${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$，设${\displaystyle d}$是它们的最大公约数。那么关于未知数${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）：

${\displaystyle \displaystyle ax+by=m}$

有整数解${\displaystyle (x,y)}$ 当且仅当${\displaystyle m}$是${\displaystyle d}$的整數倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

${\displaystyle m=1}$时，方程有解当且仅当${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$互质。方程有解时，解的集合是

${\displaystyle \left\{\left({\frac {m}{d}}x_{0}+{\frac {kb}{d}},\ {\frac {m}{d}}y_{0}-{\frac {ka}{d}}\right)\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$。其中${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$是方程${\displaystyle ax+by=d}$的一个解，可由辗转相除法得到。

所有解中，恰有二解${\displaystyle (x,y)}$满足${\displaystyle |x|\leq |b/d|}$及${\displaystyle |y|\leq |a/d|}$，等號只會在${\displaystyle a}$及${\displaystyle b}$其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。

丟番圖方程${\displaystyle 504x+651y=14}$ 没有整数解，因为504和651的最大公约数是21。而方程${\displaystyle 504x+651y=21}$是有解的。为了求出通解，可以先约掉公约数21，这样得到方程：

${\displaystyle 24x+31y=1}$。

通过扩展欧几里得算法可以得到一组特解${\displaystyle (x,y)=(-9,7)}$：${\displaystyle 24\cdot (-9)+31\cdot 7=-216+217=1}$。

特解${\displaystyle (x,y)=(-9,7)}$的求法

${\displaystyle {\color {Blue}24x+31y=1\rightarrow 1-31y=24x}}$

${\displaystyle {\color {Blue}\rightarrow 1-31y\equiv 0{\pmod {24}}\rightarrow 1-(31-24)y\equiv 0{\pmod {24}}\rightarrow 1-7y\equiv 0{\pmod {24}}}}$

令${\displaystyle {\color {Red}1-7y=24a\rightarrow 1-24a=7y}}$

${\displaystyle {\color {Red}\rightarrow 1-24a\equiv 0{\pmod {7}}\rightarrow 1-(24-7\times 3)a\equiv 0{\pmod {7}}\rightarrow 1-3a\equiv 0{\pmod {7}}}}$

令${\displaystyle {\color {Green}1-3a=7b\rightarrow 1-7b=3a}}$

${\displaystyle {\color {Green}\rightarrow 1-7b\equiv 0{\pmod {3}}\rightarrow 1-(7-3\times 2)b\equiv 0{\pmod {3}}\rightarrow 1-b\equiv 0{\pmod {3}}}}$

取${\displaystyle b=1}$為滿足${\displaystyle 1-b\equiv 0{\pmod {3}}}$的解

---

將${\displaystyle b=1}$代回${\displaystyle 1-3a=7b}$，解一元一次方程式得${\displaystyle a=-2}$

將${\displaystyle a=-2}$代回${\displaystyle 1-7y=24a}$，得${\displaystyle y=7}$

將${\displaystyle y=7}$代回${\displaystyle 24x+31y=1}$，得${\displaystyle x=-9}$

故${\displaystyle (x,y)=(-9,7)}$為一組特解

于是通解为：${\displaystyle \left\{\left(1\cdot -9+31k,1\cdot 7-24k\right)|k\in \mathbb {Z} \right\}}$，即

${\displaystyle \left\{\left(-9+31k,7-24k\right)|k\in \mathbb {Z} \right\}}$。

设${\displaystyle a_{1},\cdots a_{n}}$为${\displaystyle n}$个整数，${\displaystyle d}$是它们的最大公约数，那么存在整数${\displaystyle x_{1},\cdots x_{n}}$ 使得 ${\displaystyle x_{1}\cdot a_{1}+\cdots x_{n}\cdot a_{n}=d}$。特别来说，如果${\displaystyle a_{1},\cdots a_{n}}$互质（不是两两互质），那么存在整数${\displaystyle x_{1},\cdots x_{n}}$ 使得 ${\displaystyle x_{1}\cdot a_{1}+\cdots x_{n}\cdot a_{n}=1}$。

${\displaystyle K}$为域时，对于多项式环${\displaystyle K[X]}$裡的多项式，裴蜀定理也成立。设有一族${\displaystyle \mathbb {K} [X]}$裡的多项式${\displaystyle \left(P_{i}\right)_{i\in I}}$。设${\displaystyle \Delta }$为它们的最大公约式（首项系数为1且次数最高者），那么存在多项式${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$使得${\displaystyle \textstyle \Delta =\sum _{i\in I}A_{i}P_{i}}$。特别来说，如果${\displaystyle \left(P_{i}\right)_{i\in I}}$互质（不是两两互质），那么存在多项式${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$使得${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}A_{i}P_{=}1}$。

对于两个多项式的情况，与整数时一样可以得到通解。

裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环${\displaystyle A}$是主理想环，${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$为环中元素，${\displaystyle d}$是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$使得：

${\displaystyle ax+by=d}$

这是因为在主理想环中，${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$的最大公约元被定义为理想${\displaystyle aA+bA}$的生成元。

• 理想 (环论)
• 欧几里德整环
• 欧几里德引理
• 主理想环
• 整除

• 闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社，2003。
• 唐忠明，抽象代数基础，高等教育出版社，2006。

• 線上計算器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）