複對數 - 维基百科,自由的百科全书
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複對數(英語:Complex logarithm)為自然對數延伸到非零复数的函數,是以下兩個定義中的一個,這兩個定義彼此也密切相關:
- 非零複數的複對數,定義為可以使的任意複數[1][2]。此複數可以表示為[1]。若以極坐標表示為,其中和是實數,,則是的一個複對數,的所有複對數會是,其中的為整數[1][2]。對數會在複數平面上在一條垂直線上等距排列。
- 複數值函數,定義在集合中非零複數中的一個子集合,滿足,針對裡的所有。這樣的複數函數類似實數的自然對數函數,後者是實數指數函數的反函數,因此針對所有的正實數x,可以滿足eln x = x。複對數函數可以用有關實數值函數顯式公式來建立,用的積分,或是用解析延拓的方式建立。
沒有在整個複數域均有定義的連續複指數函數。處理此問題的方式包括分支、相關的黎曼曲面、以及複數指數函數的部份反函數(partial inverse)。主值(principal value)定義了特定的複指數函數,除了在負實數軸之外都連續。是不考慮負實數和0的複平面。這是(實數)自然對數的解析延拓。
參考資料
[编辑]書目
[编辑]- Ahlfors, Lars V. Complex Analysis 2nd. McGraw-Hill. 1966 [2024-01-13]. (原始内容存档于2024-01-13).
- Sarason, Donald. Complex Function Theory 2nd. American Mathematical Society. 2007.