在拓撲學中,拓撲空間
的覆疊空間是一對資料
,其中
是拓撲空間,
是連續的滿射,並存在
的一組開覆盖
![{\displaystyle X=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6379818c0094b87b85bb799a3412d3204c634548)
使得對每個
,存在一個離散拓撲空間
及同胚:
,而且
是對第一個坐標的投影。
滿足上述性質的
稱為覆疊映射。當
連通時,
的基數是個常數,稱為覆疊的次數或重數。
空間
的覆疊構成一個範疇
,其對象形如
,從
到
態射是連續映射
,且
。
覆疊空間的例子:
- 考慮映射
,
。對任意
,取其開鄰域
![{\displaystyle U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<{\frac {1}{2}}\}\simeq (-1/2,1/2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072cc337299d77fd03d9dd05705ce0fe05db0cad)
![{\displaystyle f:(-1/2,1/2)\times \mathbb {Z} {\stackrel {\sim }{\to }}p^{-1}(U),\quad f(t,n)=t+n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb58ca8fab20bd487c8d4b77eaa44698571676ad)
由此可見
是覆疊映射。
- 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是
。
局部性质 对于任何一个覆叠
都是一个局部同胚,这就是说,对任意的
,都存在一个在C中的开邻域U,和p(c)在X中的开邻域V,使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的,则在整体上也成立,并且覆叠p变为同胚。 纤维上的同胚
連通空間
的萬有覆疊空間(若其存在)是範疇
的初始對象
,換言之,對每個覆疊
,存在唯一的連續映射
使得
。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的
便是一例。
若要求
局部道路連通且局部單連通,則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下,覆疊
是萬有覆疊的充要條件是基本群
。
以下同樣要求
連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射
,選定
。在
中的自同構群
在纖維
上的作用是自由的(即:
是單射),對於
的不同選取,此作用僅差個自然的同構。
若
的作用是傳遞的,則稱
為正則覆疊。萬有覆疊必正則,反之則不然。按照纖維叢的觀點,覆疊空間正是離散纖維的纖維叢,正則覆疊對應到主叢。