貝爾數(英語:Bell number)是組合數學中的一組整數數列,以埃里克·坦普尔·贝尔命名,首幾個貝爾數為:
Bell Number
(OEIS數列A000110)
是基數為
的集合的劃分方法的數目。集合
的劃分是
的兩兩不相交的非空子集的族,它們的並是
。例如,
,因為有3個元素的集合
有5種不同的劃分方法: 。
![{\displaystyle \{\{a\},\{b\},\{c\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a41a8d4bb6dbde95dd4be163f7a4aaa9a62d645)
![{\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6a4023ebfd5fc4173a0a742632650d01507e2e)
![{\displaystyle \{\{b\},\{a,c\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d37450e704506f6276fc0500cd6aa1af22657e)
![{\displaystyle \{\{c\},\{a,b\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1e5bee14c1295b21cabbb4418fdfcdc2cbc972)
;
因為空集正好有1種劃分方法。空集的每個成員都是非空集合(这是Vacuous truth,因为空集实际上没有成員),而它們的並是空集本身。所以空集是它的唯一劃分。
貝爾數滿足遞推公式:
![{\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}B_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5e86ffce7a32cab4eebff361de96f3e08db4f0)
上述组合公式的证明:
可以这样来想,
是含有n+1个元素集合的划分的个数,考虑元素
假设他被单独划分到一类,那么还剩下n个元素,这种情况下划分个数为
;
假设他和某一个元素被划分为一类,那么还剩下n-1个元素,这种情况下划分个数为
;
假设他和某两个元素被划分为一类,那么还剩下n-2个元素,这种情况下划分个数为
;
依次类推,得到了上述组合公式
它們也適合「Dobinski公式」:
期望值為1的泊松分數的n次矩。
它們也適合「Touchard同餘」:若p是任意質數,那麼
![{\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\ (\operatorname {mod} \ p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e44d1a89cbc4a0ac1ca69481e9e3c08870fb75)
每個貝爾數都是"第二類Stirling數"的和
![{\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae139ffa25497affa2f79f03025fdd9818812db)
Stirling數S(n, k)是把基數為n的集劃分為正好k個非空集的方法的數目。
把任一概率分佈的n次矩以首n個累積量表示的多項式,其係數和正是第n個貝爾數。這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙。
貝爾數的指數母函數是
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307aca47b7267551e4087742a0d2f608967a50a3)
用以下方法建構一個三角矩陣(形式類似楊輝三角形):
- 第一行第一項是1(
) - 對於n>1,第n行第一項等同第n-1行最後一項。(
) - 對於m,n>1,第n行第m項等於它左邊和左上方的兩個數之和。(
)
結果如下:(OEIS:A011971)
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}1\\1&&&&2&&&&\\2&&&&3&&&&5&&&&\\5&&&&7&&&&10&&&&15&&&&\\15&&&&20&&&&27&&&&37&&&&52&&&&\\52&&&&67&&&&87&&&&114&&&&151&&&&203&&&&\\203&&&&255&&&&322&&&&409&&&&523&&&&674&&&&877&&&&\\877&&&&1080&&&&1335&&&&1657&&&&2066&&&&2589&&&&3263&&&&4140&&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a558484fb4e20fb7fd8d75bc1dcaffcab9a5575f)
每行首項是貝爾數。每行之和是第二類Stirling數。
這個三角形稱為貝爾三角形、Aitken陣列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle)。