在代數幾何中,有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。
固定概形
。考慮所有的資料
,其中
是稠密開集,而
是態射;這些資料代表了
上「部份定義」的態射,
代表
的定義域。定義下述等價關係:
![{\displaystyle (U,f)\sim (U',g)\iff f|_{U\cap U'}=g|_{U\cap U'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19969b0164438722bb7bed30fff9902392c56fa)
此外,注意到稠密性保證
也是
中的稠密開集。當
不可約,則所有非空開集都是稠密的。若再假設
既約而
是分離概形,則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。
從概形
到
的有理映射
是其中的一個等價類
。
若
是從
到
,
是從
到
的有理映射,則一般並不能定義其合成
。但是當
的像(對某個,因而對每個代表元
)在
中稠密時,對每個
的代表元
,
皆非空,此時可以定義
。
同理,若
與
都是
上的概形,也可以類似地定義
-有理映射。
設
為整環,設
、
,則從
到
的任何有理映射
有唯一的表法:
![{\displaystyle f=\left({\dfrac {f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}},\ldots ,{\dfrac {f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b557b4a58c23afd037281ae481e984cd753b29)
其中
是多項式。該有理映射可以在
上定義。
此外,對於不可約
-概形
,其上的有理函數一一對應到從
到
的有理映射。
之前考慮合成問題時,曾利用像的稠密性條件;滿足該條件的有理映射稱為優勢映射。由於優勢映射可以作合成,定義從概形
到
的雙有理等價為一個優勢映射
,使得存在另一個從
到
的優勢映射
,使
、
。
以下考慮域
上的不可約代數簇及其間的
-有理映射。有理映射的地位在於:透過有理函數的「拉回」運算,代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射,而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。
雙有理等價的定義較同構寬,因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是
與
,兩者雙有理等價,而並不同構。原因如下:
中的任兩條閉曲線都有交點,而在
中,
與
不相交,因而
與
並不同構。
另一方面,
的函數域可以在仿射開集
上計算,此開集的座標環是
,其函數域是
;這也是
的函數域,於是二者雙有理等價。若細審上述論證,事實上能寫出所求雙有理等價的式子。
- Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 (法语).
- Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 (英语).