在電磁學 裏,電磁波方程式 (英語:Electromagnetic wave equation)乃是描述電磁波 傳播於介質 或真空 的二階微分方程式 。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度 和電流密度 ,假若波源為零,則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式 。這方程式的形式,以電場 E {\displaystyle \mathbf {E} \,\!} 和磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} 來表達為
( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) E = 0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!} 、 ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) B = 0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!} ; 其中, ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\,\!} 是拉普拉斯算符 , c {\displaystyle c\,\!} 是電磁波在真空或介質中傳播的速度, t {\displaystyle t\,\!} 是時間 。
由於光波 就是電磁波, c {\displaystyle c\,\!} 也是光波傳播的速度,稱為光速 。在真空裏, c = c 0 = 299 , 792 , 458 {\displaystyle c=c_{0}=299,792,458\,\!} [公尺/秒],是電磁波傳播於自由空間 的速度。
在詹姆斯·麦克斯韦 的1864年論文《電磁場的動力學理論 》內,麦克斯韦將位移電流 與其它已成立的電磁方程式合併,因而得到了描述電磁波的波動方程式 。最令人振奮的是,這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說[ 1] :
這些殊途一致的結果,似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性,並且,光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。 — 詹姆斯·麦克斯韦
在真空裏,麦克斯韦方程組 的四個微分方程式為
∇ ⋅ E = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!} 、(1) ∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!} 、(2) ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!} 、(3) ∇ × B = μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!} ;(4) 其中, μ 0 {\displaystyle \mu _{0}\,\!} 是真空磁導率 , ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}\,\!} 是真空電容率 。
分別取公式(2)、(4)的旋度 ,
∇ × ( ∇ × E ) = − ∂ ∂ t ( ∇ × B ) = − μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\,\!} 、 ∇ × ( ∇ × B ) = μ 0 ε 0 ∂ ∂ t ( ∇ × E ) = − μ o ε o ∂ 2 B ∂ t 2 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!} 。 應用一則向量恆等式 (這裏, ∇ 2 V {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} } 應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子 ,卽拉普拉斯–德拉姆算子 )
∇ × ( ∇ × V ) = ∇ ( ∇ ⋅ V ) − ∇ 2 V {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,\!} ; 其中, V {\displaystyle \mathbf {V} \,\!} 是任意向量函數。
將公式(1)、(3)代入,即可得到亥姆霍茲方程 形式的波動方程式:
( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) E = 0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!} 、(5) ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) B = 0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!} ;(6) 其中, c = c 0 = 1 μ 0 ε 0 = 2.99792458 × 10 8 {\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\!} [公尺/秒]是電磁波傳播於自由空間的速度。
電磁四維勢 A μ {\displaystyle A^{\mu }\,\!} 是由電勢 ϕ {\displaystyle \phi \,\!} 與矢量勢 A {\displaystyle \mathbf {A} \,\!} 共同形成的,定義為
A μ = d e f ( ϕ / c , A ) {\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )\,\!} 。 採用勞侖次規範 :
∂ A μ ∂ x μ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!} 。 前述那些齊次的波動方程式(5)、(6),可以按照反變形式 寫為
◻ A μ = 0 {\displaystyle \ \Box A^{\mu }=0\,\!} ; 其中, ◻ = ∂ ν ∂ ν = ∂ 2 ∂ x ν ∂ x ν = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \Box =\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}={\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\,\!} 是達朗貝爾算子 ,又稱為四維拉普拉斯算子 。
齊次的电磁波方程式在弯曲时空 中需要做两处修正,分别是將偏导数替换为协变导数 ,以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范 在弯曲时空中的推广为
A μ ; μ = d e f ∂ A μ ∂ x μ = 0 {\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!} 。 那麼,彎曲時空中的齊次的波動方程式為
− A α ; β β + R α β A β = 0 {\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0\,\!} ; 其中, R α β {\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }\,\!} 是里奇曲率张量 。
追根究底,局域化的含時電荷密度 和電流密度 是電磁波的波源。在有波源的情形下,馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在,使得偏微分方程式變為非齊次。
在齊次的電磁波方程式中,電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式
1 c 2 ∂ 2 f ∂ t 2 − ∇ 2 f = 0 {\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2}f \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}f\ =\ 0\,\!} ;(7) 其中, f {\displaystyle f\,\!} 是任意良態 函數,
純量波動方程式的一般解的形式為
f ( r , t ) = g ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!} ; 其中, g ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!} 是任意良態函數, r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是位置向量 , t {\displaystyle t\,\!} 是時間, k {\displaystyle \mathbf {k} \,\!} 是波向量 , ω {\displaystyle \omega \,\!} 是角頻率 。
函數 g ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!} 描述一個波動,隨著時間的演化,朝著 k {\displaystyle \mathbf {k} \,\!} 的方向傳播於空間。將函數 g ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!} 代入純量波動方程式(7),可得到角頻率與波數 的色散關係 :
ω 2 = c 2 k 2 {\displaystyle \omega ^{2}=c^{2}k^{2}\,\!} , 或者,角頻率一定大於零,但波數可以是負值:
ω = c | k | {\displaystyle \omega =c|k|\,\!} 。 正弦函數 和餘弦函數 的曲線是不同相位的正弦曲線。 假設,函數 g {\displaystyle g\,\!} 的波形為正弦波 :
f = f 0 cos ( k ⋅ r − ω t + ϕ 0 ) {\displaystyle f=f_{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})\,\!} ; 其中, f 0 {\displaystyle {f}_{0}\,\!} 是實值波幅 , ϕ 0 {\displaystyle \phi _{0}\,\!} 是初相位 。
根據歐拉公式 ,
e i θ = cos θ + i sin θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,\!} , 函數 f {\displaystyle f\,\!} 也可以表達為一個複數 的實值部分
f = Re { f 0 e i ( k ⋅ r − ω t + ϕ 0 ) } {\displaystyle f=\operatorname {Re} \{f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}\}\,\!} 。 以上方加有波浪號 的符號來標記複值變數 。設定複值函數 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}\,\!} 為
f ~ = f 0 e i ( k ⋅ r − ω t + ϕ 0 ) = f ~ 0 e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle {\tilde {f}}=f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}={\tilde {f}}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!} ; 其中, f ~ 0 = f 0 e i ϕ 0 {\displaystyle {\tilde {f}}_{0}=f_{0}e^{i\phi _{0}}\,\!} 是複值波幅 。
那麼,
f = Re { f ~ } {\displaystyle f=\operatorname {Re} \{{\tilde {f}}\}\,\!} ; 純量波動方程式的正弦波解的形式為 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}\,\!} 的實值部分。任意涉及實函數 f {\displaystyle f\,\!} 的線性方程式 ,都可以用複函數 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}\,\!} 來代替 f {\displaystyle f\,\!} 。最後得到的複值答案,只要取實值部分,就可以得到描述實際物理的答案。但是,當遇到非線性方程式,必須先轉換為實值函數,才能夠確保答案的正確性。
由於指數函數 比三角函數 容易計算,在很多場合,都可以使用這技巧。
任意波動 f ( r , t ) {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!} 可以表達為一個無限集合 的不同頻率的正弦波的線性疊加 :
f ( r , t ) = ∫ 0 ∞ f ~ 0 ( r , ω ) e − i ω t d ω {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\ d\omega \,\!} 。 所以,只要能得知單獨頻率的波動 f ~ 0 ( r , ω ) {\displaystyle {\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )\,\!} (單色波 )的表達式,就可以求算整個波動 f ( r , t ) {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!} 的表達式。
電磁波是橫波,電場方向與磁場方向相互垂直,又都垂直於傳播方向。 從前面的分析,可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為:
E ~ ( r , t ) = E ~ 0 e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {E} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!} 、 B ~ ( r , t ) = B ~ 0 e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {B} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!} ; 其中, E ~ 0 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}\,\!} 、 B ~ 0 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}\,\!} 分別為複值電場 E ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}} 和複值磁場 B ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}} 的複常數振幅 向量。
這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是 k {\displaystyle \mathbf {k} \,\!} 的方向。由於方程式(1)和(3),
k ⋅ E ~ ( r , t ) = k ⋅ E ~ 0 = 0 {\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=0\,\!} 、 k ⋅ E ~ ( r , t ) = k ⋅ B ~ 0 = 0 {\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}=0\,\!} , 電場和磁場垂直於波向量,波動傳播的方向。所以,電磁波是橫波 。
由於法拉第電磁感應定律 方程式(2),
∇ × E ~ = ( ∇ e i ( k ⋅ r − ω t ) ) × E ~ 0 = i k × E ~ = − ∂ B ~ ∂ t = i ω B ~ {\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=\left(\nabla e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\right)\times {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=i\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {B} }}}{\partial t}}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }}\,\!} 。 將角頻率與波數的色散關係式 ω = c k {\displaystyle \omega =ck\,\!} 帶入:
B ~ = k ω × E ~ = 1 c k ^ × E ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}={\frac {\mathbf {k} }{\omega }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {1}{c}}{\hat {\mathbf {k} }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}\,\!} 。 所以,電場與磁場相互垂直於對方;磁場的大小等於電場的大小除以光速。
電磁波譜 顯示出不同種類的電磁波的頻率值域和波長值域。可見光譜只佔有寬廣的電磁波譜的一小部分。 由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質,其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起,又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換 方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為
E ( r , t ) = E 0 cos ( ω t − k ⋅ r + ϕ 0 ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!} 、 B ( r , t ) = B 0 cos ( ω t − k ⋅ r + ϕ 0 ) {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!} 。 波向量與角頻率的關係為
k = | k | = ω c = 2 π λ {\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }\,\!} ; 其中, λ {\displaystyle \lambda \,\!} 是波長 。
按照波長長短,從長波開始,電磁波可以分類為電能 、無線電波 、微波 、紅外線 、可見光 、紫外線 、X-射線 和伽馬射線 等等。普通實驗使用的光譜儀 就足以分析從2 奈米 到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器,可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學 的必備儀器。例如,氫原子 會發射波長為21.12公分的無線電波。
原柱對稱形共軸傳輸線 如圖右,思考一條由半徑為 a {\displaystyle a\,\!} 的無窮長的直導線,和半徑為 b {\displaystyle b\,\!} 的無窮長的圓柱導電管,所組成的共軸傳輸線 。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線,不是空心的,它可以傳輸 E z = 0 {\displaystyle E_{z}=0\,\!} 和 B z = 0 {\displaystyle B_{z}=0\,\!} 的電磁橫波,採用圓柱坐標 ( s , ϕ , z ) {\displaystyle (s,\phi ,z)\,\!} ,在傳輸線的內部空間,電場和磁場分別為[ 2]
E ( r , t ) = E 0 s cos ( k z − ω t ) s ^ {\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {{\mathbf {E} }_{0}}{s}}\cos(kz-\omega t){\hat {s}}\,\!} 、 B ( r , t ) = E 0 c s cos ( k z − ω t ) ϕ ^ {\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}}{cs}}\cos(kz-\omega t){\hat {\phi }}\,\!} 。 這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。
思考一個位於原點 的振盪中的磁偶極矩 m = m 0 cos ( ω t ) {\displaystyle m=m_{0}\cos(\omega t)\,\!} 。這磁偶極矩會發射出電磁波,從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標 ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )\,\!} ,則在離原點很遠的位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} ,電場和磁場分別為[ 2]
E ( r , t ) = E 0 sin θ r [ cos ( k r − ω t ) − 1 k r [ sin ( k r − ω t ) ] ϕ ^ {\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!} 、 B ( r , t ) = − E 0 sin θ c r [ cos ( k r − ω t ) − 1 k r [ sin ( k r − ω t ) ] θ ^ {\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!} 。 這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。
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