高斯光束的瞬时辐照度電腦繪圖 场强(蓝色)和辐照度(黑色)在坐标轴上的分布情况 在光学 中,高斯光束 (英語:Gaussian beam )是横向电场 以及辐照度 分布近似满足高斯函数 的电磁波 光束。许多激光 都近似满足高斯光束的条件,在这种情况中,激光在光谐振腔 中以TEM00 波模(横向基模)传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射 时,高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束,因此,高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。
描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程 的一个近轴近似 解(属于小角近似 的一种)。这个解具有高斯函数 的形式,代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场 和磁场 两部分,研究其中任一个场,就足以描述波在传播时的性质。
高斯光束中,场的行为可以通过几个参数加以刻画,如光斑大小,曲率半径,古依相移等。
亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解,在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解,最低阶都是高斯光束,高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。
高斯光束作为电磁波的横向电磁模,通过求解近轴亥姆霍兹公式,可得电场的振幅
E ( r , z ) = E 0 w 0 w ( z ) exp ( − r 2 w 2 ( z ) ) exp ( − i k z − i k r 2 2 R ( z ) + i ζ ( z ) ) , {\displaystyle E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\ ,} 纳米激光器产生的激光 这里
r {\displaystyle r} 为径向坐标,以光轴中心为参考点 z {\displaystyle z} 为轴向坐标,以光轴上光波最狭窄(束腰)位置为参考点 i {\displaystyle i} 为虚数单位 (即 i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ) k = 2 π λ {\displaystyle k={2\pi \over \lambda }} 为波数 (以“弧度 /米”为单位) E 0 = | E ( 0 , 0 ) | {\displaystyle E_{0}=|E(0,0)|} w ( z ) {\displaystyle w(z)} 为当电磁场振幅降到轴向的1/e 、强度降到轴向的1/e 2 的点的半径 w 0 = w ( 0 ) {\displaystyle w_{0}=w(0)} 为激光的束腰宽度 R ( z ) {\displaystyle R(z)} 为光波波前 的曲率半径 ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} 为轴对称光波的 Gouy 相移,对高斯光束的相位也有影响 此外,上式中默认忽略了含时项 e i ω t {\textstyle e^{i\omega t}} 。
对应的辐照度时域平均值为
I ( r , z ) = | E ( r , z ) | 2 2 η = I 0 ( w 0 w ( z ) ) 2 exp ( − 2 r 2 w 2 ( z ) ) , {\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,} 这里 I 0 = I ( 0 , 0 ) {\displaystyle I_{0}=I(0,0)} 为光波束腰中心处的辐照度。常数 η {\displaystyle \eta \,} 为光波所在传播介质中的波阻抗 。在真空中, η = η 0 = μ 0 ε 0 = 1 / ( ε 0 c ) ≈ 376.7 Ω {\displaystyle \eta =\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=1/(\varepsilon _{0}c)\approx 376.7\ \mathrm {\Omega } } 。
高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定,下面将分别予以介绍。
对于在自由空间传播的高斯光束,其腰斑 位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 w 0 {\displaystyle w_{0}} ,这个最小值被称为束腰(beam waist)。波长 为 λ {\displaystyle \lambda } 的光波的腰斑位置在 z {\displaystyle z} 轴上的分布为
w ( z ) = w 0 1 + ( z z R ) 2 . {\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}\ .} 这里将 z = 0 {\displaystyle z=0} 定义为束腰的位置。
z R = π w 0 2 λ {\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}} 被称为瑞利距离 。
与束腰轴向距离等于瑞利距离 z R {\displaystyle z_{R}} 处的束宽为
w ( ± z R ) = w 0 2 . {\displaystyle w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}.\,} 这两点之间的距离称作共焦参数 或光束的焦深 。
b = 2 z R = 2 π w 0 2 λ . {\displaystyle b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .} R ( z ) {\displaystyle R(z)} 是光束波前的曲率半径,它是轴向距离的函数
R ( z ) = z [ 1 + ( z R z ) 2 ] . {\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .} 当 z ≫ z R {\displaystyle z\gg z_{\mathrm {R} }} ,参数 w ( z ) {\displaystyle w(z)} 与 z {\displaystyle z} 呈线性关系,趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”,它等于
θ ≃ λ π w 0 ( θ i n r a d i a n s ) . {\displaystyle \theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} ).} 在远离束腰的位置,光束弯散的总角度为
Θ = 2 θ . {\displaystyle \Theta =2\theta \ .} 由于这一性质,聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直,激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射 的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应,但是高斯光束是一种特殊情况,其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。
由于高斯光束模型使用了近轴近似,当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后,这种模型将不再适用[ 1] 。通过上述偏移的表达式,这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 2 λ / π {\displaystyle 2\lambda /\pi } 的光束适用。
激光束的质量可以用束参数乘积 (BBP)来衡量。对于高斯光束,BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 w 0 {\displaystyle w_{0}} 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下,实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M2 ”。高斯光束的 M2 值为1,而所有的是激光束的 M2 值均大于1,并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。
光束的轴向上的相位延迟,或称 Gouy 相位为
ζ ( z ) = arctan ( z z R ) . {\displaystyle \zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ .} 当光束通过焦点时,除了正常情况下平面波的相移 e − i k z {\displaystyle e^{-ikz}} 外,多出一个额外的 Gouy 相移 π {\displaystyle \pi } 。
可以通过复数形式的光束参数 q ( z ) {\displaystyle q(z)} 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息,
q ( z ) = z + q 0 = z + i z R . {\displaystyle q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }\ .} 倒数 1 / q ( z ) {\displaystyle 1/q(z)} 显式提供了 q ( z ) {\displaystyle q(z)} , w ( z ) {\displaystyle w(z)} 与 R ( z ) {\displaystyle R(z)} 间的关系:
1 q ( z ) = 1 z + i z R = z z 2 + z R 2 − i z R z 2 + z R 2 = 1 R ( z ) − i λ π w 2 ( z ) . {\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}.}
光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位,特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。
利用复数光束参数 q {\displaystyle q} ,具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例
u ( x , z ) = 1 q x ( z ) exp ( − i k x 2 2 q x ( z ) ) . {\displaystyle {u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right).} 在二维的情况中,可以将散光的光束表达为乘积的形式
u ( x , y , z ) = u ( x , z ) u ( y , z ) , {\displaystyle {u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z),} 对于圆对称 的普遍情况, q x = q y = q {\displaystyle {q}_{x}={q}_{y}={q}} 且 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} ,可以得出[ 2]
u ( r , z ) = 1 q ( z ) exp ( − i k r 2 2 q ( z ) ) . {\displaystyle {u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right).} 流经距离 z 轴半径为r 的圆的功率 为
P ( r , z ) = P 0 [ 1 − e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ] , {\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,} 这里
P 0 = 1 2 π I 0 w 0 2 {\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}} 为电磁波传播的总能量 流经以 r = w ( z ) {\displaystyle r=w(z)\,} 为半径的圆的能量占总能量的比值为
P ( z ) P 0 = 1 − e − 2 ≈ 0.865 . {\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\ .} 类似的,占光波总能量约90%的部分将流经半径为 r = 1.07 ⋅ w ( z ) {\displaystyle r=1.07\cdot w(z)\,} 的圆形面积,总能量的95%通过 r = 1.224 ⋅ w ( z ) {\displaystyle r=1.224\cdot w(z)\,} 的圆形面积,总能量的99%会通过 r = 1.52 ⋅ w ( z ) {\displaystyle r=1.52\cdot w(z)} 的圆。
在与束腰的轴向距离为 z {\displaystyle z} 的位置,利用洛必达法则 ,可以计算该位置的辐射照度峰值
I ( 0 , z ) = lim r → 0 P 0 [ 1 − e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ] π r 2 = P 0 π lim r → 0 [ − ( − 2 ) ( 2 r ) e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ] w 2 ( z ) ( 2 r ) = 2 P 0 π w 2 ( z ) . {\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.} 可以看出,辐照度峰值为平均值的两倍,后者等于总能量除以半径为 w ( z ) {\displaystyle w(z)} 的圆的面积。
^ Siegman (1986) p. 630. ^ See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29 Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5 . Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107. Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2 . Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267. Siegman, Anthony E. Lasers. University Science Books. 1986. ISBN 0-935702-11-3 . Chapter 16. F. Pampaloni and J. Enderlein. Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer. 2004. arXiv:physics/0410021 .