在代数學中 ,高斯引理[1]以高斯命名,是关于整係數多项式的命題,或者更一般地说,是关于一个唯一分解整環的敘述。
高斯的引理断言两个本原多項式的乘積仍是本原多項式(本原多項式是指:係數的最大公因數為1的整係數多項式)。
高斯引理有一個推论,有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是不可约的 ,若且唯若它在有理数上是不可约的。
當一個整係數多項式
的係數的最大公因數是1,我們稱其為本原多項式。那麼有以下高斯引理:
高斯引理 (本原版本). 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。
证明:
以下以反證法證明。
設整係數多項式
都是本原的,並反設
不是本原多項式。
於是
是非本原的整係數多項式,因此可選整除
所有係數的質數
。
但
皆是本原的,從而可分別選定
為滿足
的最小整數。現在我們知道
的
項係數是
根據假設,該項係數應該被
整除,矛盾,故得證。
高斯引理 (不可約版本). 如果一非常數整係數多項式在有理係數多項式環
內可約,則他在整係數多項式環
內也可約。
证明:
設
是一在
內可約的非常數整係數多項式。於是可取兩個非常數的有理係數多項式
使得
。
透過適當選取整數
,可以假設
皆是本原多項式(當然也就是整係數多項式)。
由上一個引理,
也是本原多項式。於是
是
的係數的最大公因數,故
是個整數。
現在,我們有
且
是整數,於是也就證明了
在
內也可約。
- ^ Article 42 of Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (1801)