黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理,以德國數學家恩斯特·黑林格和奧托·特普利茨命名。
設為希爾伯特空間,是處處定義的對稱線性算子,即對任意都有等式
- 。
那麼,有界(因此也是連續)。
從閉圖像定理可知,只需證明:如果序列趨於0,,那麼。因為內積在上連續,故得
所以。
- 任何對稱且在上處處定義的算子是自伴算子。
- 無界自伴算子最多只能定義在希爾伯特空間的一個稠密子集上。
這定理帶出了量子力學的數學基礎的一些技術難題。量子力學中的可觀察量對應到某個希爾伯特空間上的自伴算符,但一些可觀察量(如能量)的算符是無界的。這定理說這些算符不能處處定義,只能定義在稠密子集上。
以量子諧振子為例。這時希爾伯特空間是,即上平方可積函數空間,能量算符定義為(設其單位選取使得)
這算符是自伴無界的(其特徵值為1/2, 3/2, 5/2, ...),所以不能在整個上定義。
- Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)