在數學裏,初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題;這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。
以下是一些初值問題的例子:
![{\displaystyle y'=0.85y,\qquad y(0)=19}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d7a4e01b90e85d10040f0f59b9dd2fcd0fcd8f)
![{\displaystyle {\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136777ed63236c3f605d0dbc5f9895dcf147a9e6)
一個初值問題涉及微分方程式
,
與在
的定義域內的一點
。
這在
的定義域內的點
稱為初始條件。
- 假若初值問題的一個解是函數
,則
是微分方程式
的解,滿足
。
- 對於更高階的問題,可視
為向量。每加高一個階,就増添一個分量給
。
對於許多的初值問題,解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。
若ƒ在一個包括t0及y0的區間內連續,且對變數y滿足利普希茨連續的條件.則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t0的區間有唯一解。
此定理的證明需將問題變成等價的積分方程,積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子,因此其解為運算子的不動點,再利用巴拿赫不动点定理證明有一個唯一的不動點.即為初值問題的解。
較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列,最終會收斂到積分方程的解,也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」,是巴拿赫不动点定理的一個特例。
日本數學家岡村博找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件,其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在[1]。
有些情形,函數ƒ不是光滑函数,甚至不是利普希茨連續,因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。皮亚诺存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形,證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性[2][3]。卡拉特歐多存在性定理可適用的範圍更廣,可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。
- 例一
一個簡單的範例是求解
及
,要求出一個
滿足上述二式。
由於
,因此
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=0.85y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c13174316cb27139a410f52d69e26411dae0216)
接下來重新整理方程式,使
在等式左邊,
在等式右邊
![{\displaystyle {\frac {dy}{y}}=0.85dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d232a8b97d320f0a7dcf197228faabffcb59379)
再將等式二邊積分,會引入未知常數
![{\displaystyle \ln |y|=0.85t+B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60aa8faa00578d4d9b781ea056b469c4a2faf15)
消去
![{\displaystyle |y|=e^{B}e^{0.85t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115ea1247acfbbbe7ba8cb2f47729aae127a015a)
令
為一個新的未知常數,
,因此
![{\displaystyle y=Ce^{0.85t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729818e09f3765308ec72b22187deee2a5448d25)
現在需要找出
的數值。利用
的啟始條件,將
代入0,
代入19
![{\displaystyle 19=Ce^{0.85*0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9b2635d3a8728928ed55e6de6401f9fe4e68b3)
![{\displaystyle C=19}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d37f2ad3042d7309fc2b1ab0a87865c42f2908)
因此可得其解為
.
- 例二
![{\displaystyle {\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136777ed63236c3f605d0dbc5f9895dcf147a9e6)
利用拉普拉斯变换
![{\displaystyle sY(s)-y(0)+3Y(s)={\frac {6}{s^{2}}}+{\frac {5}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfcb21e266ecc5f9b8372b9064d6a167fbd9be71)
![{\displaystyle \therefore Y(s)={\frac {y(0)s^{2}+5s+6}{s^{2}(s+3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f72eac88c54e3a0fe793efb2dfe3bbb7dfaf23e)
利用部分分式分解
![{\displaystyle Y(s)={\frac {\alpha }{s}}+{\frac {\beta }{s^{2}}}+{\frac {\gamma }{s+3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642ccdc813d50d314f60fca57e6cf43ddef0f148)
![{\displaystyle \alpha =1,\beta =2,\gamma =y(0)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a853116033bb5e814fed0703b4f8c56be6ce4bcf)
![{\displaystyle Y(s)={\frac {1}{s}}+{\frac {2}{s^{2}}}+{\frac {y(0)-1}{s+3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5b98c5deadbdb8bdb34046dcb04d86daa70db5)
拉普拉斯逆變換
![{\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf348683580e766e7d66519b8740768327c068e)
- ^ Okamura, Hirosi. Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. 1942, 24: 21–28 (法语).
- ^ Coddington, Earl A. and Levinson, Norman. Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. 1955. Theorem 1.3
- ^ Robinson, James C. Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-63204-8. Theorem 2.6