均勻球體內部和周圍的重力位二維切片圖。截面的拐点 位於該球體的表面。 在古典力學 中,一個位置上的重力位 (英語:Gravitational potential )等於將每單位質量的物體從零位面移動到該位置所需的功 (即此过程中轉移给该单位质量的物体的能量 )。重力位類似於電磁學中電位 的概念,而質量 可比擬為電荷 在電磁學中扮演的角色。習慣上,重力位的零位面會取在無限遠處。在这种约定下,任何有限距離处的重力位都小於零。
在數學上,重力位也稱為牛頓位 (英語:Newtonian potential ),是位能理論的基礎。位能理論也可以用於解釋由均勻帶電或極化的橢圓體產生的靜電場 和靜磁場 。[ 1]
一個位置的重力位( V {\displaystyle V} )等於每單位質量在該點擁有的位能 ( U {\displaystyle U} ):
V = U m , {\displaystyle V={\frac {U}{m}},} 式中 m {\displaystyle m} 表示物體的質量。一個位置的重力位能等於在將物體從無限遠處移動到該點的路徑上,重力場所做的正功。若物體的質量等於1公斤,那麼該物體的位能的大小便會與重力位相等。
在某些情況下,可以假設重力場的强度與所在位置無關。此时上式可以被進一步化簡。比方說,在接近地表附近的重力加速度 g {\displaystyle g} 可以視為定值,因此不同位置間的位能差 Δ U {\displaystyle \Delta U} 能夠與高度差 Δ h {\displaystyle \Delta h} 近似為簡單的線性關係:
Δ U ≈ m g Δ h . {\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.} 若令一質點的質量為 M {\displaystyle M} ,則在與質點距離 r {\displaystyle \mathbf {r} } 處的重力位 V {\displaystyle V} 可被定義為: [ 2] [ 3] [ 4] [ 5]
V ( r ) = − G M r {\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r}}} 牛頓萬有引力定律 指出:
F = − G M m r 2 r ^ {\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} } 其中
F {\displaystyle \mathbf {F} } :質量 m {\displaystyle m} 的質點受到的萬有引力 G {\displaystyle G} :萬有引力常數 m {\displaystyle m} :質點1的質量 M {\displaystyle M} :質點2的質量 r {\displaystyle r} :兩個物體之間的距離 r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } :由 M {\displaystyle M} 指向 m {\displaystyle m} 的單位向量 式中的負號使得 m {\displaystyle m} 往 M {\displaystyle M} 方向吸引,因此萬有引力是吸引力。
而重力場 g {\displaystyle g} 則描述了空間中任意位置上,每單位質量的質點所受到的萬有引力:
g = F m = − G M r 2 r ^ {\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}=-G{\frac {M}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} } 當我們去考慮在重力場中每單位質量的物體由外力移動一段距離 d l {\displaystyle \mathbf {dl} } 所需做的功 d W {\displaystyle \mathbf {d} W} ,由於功等於力與位移的內積,所以 d d W = − g ⋅ d l {\displaystyle d\mathbf {d} W=-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} } ,式中的負號表示外力所做的功與重力場所做的功相反。如果將物體從點 a {\displaystyle \mathbf {a} } 移動到點 b {\displaystyle \mathbf {b} } ,則 W {\displaystyle W} 等於沿著該路徑的線積分
W = ∫ a b − g ⋅ d l {\displaystyle W=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} } 在球座標系中 d l = d r r ^ + r d θ θ ^ + r sin θ d ϕ ϕ ^ {\displaystyle \mathbf {dl} =\mathbf {d} r\mathbf {\hat {r}} +r\mathbf {d} \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\mathbf {d} \phi {\boldsymbol {\hat {\phi }}}} ,所以
g ⋅ d l = − G M r 2 d r {\displaystyle \mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} =-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {d} r} 因此
W = ∫ a b − g ⋅ d l = ∫ a b G M r 2 d r = G M ( 1 r a − 1 r b ) {\displaystyle {\begin{aligned}W&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {d} r\\&=GM({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{r_{b}}})\end{aligned}}} 其中, r a {\displaystyle r_{a}} 是從原點到點 a {\displaystyle \mathbf {a} } 的距離, r b {\displaystyle r_{b}} 是從原點到點 b {\displaystyle \mathbf {b} } 的距離。對於任何兩條具有相同起點和終點的路徑,上式的積分一定具有相同的值。既然線積分與路徑無關,我們可以就定義一個函數 V ( r ) {\displaystyle V(\mathbf {r} )} :
V ( r ) = − ∫ O r g ⋅ d l {\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathcal {O}}^{\mathbf {r} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} } V ( r ) {\displaystyle V(\mathbf {r} )} 就稱為重力位。只要預先設定一個標準參考點 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} , V {\displaystyle V} 的值就可以由 r {\displaystyle \mathbf {r} } 來決定。
習慣上,我們將無限遠處的重力位設為零。因此,在點 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的重力位 V {\displaystyle V} 等於
V ( r ) = G M ( 1 ∞ − 1 r ) = − G M r {\displaystyle V(\mathbf {r} )=GM({\frac {1}{\infty }}-{\frac {1}{r}})=-{\frac {GM}{r}}} 此外, W {\displaystyle W} 可以用 V {\displaystyle V} 重新寫成:
W = ∫ a b − g ⋅ d l = − ∫ O b g ⋅ d l − ∫ a O g ⋅ d l = − ∫ O b g ⋅ d l + ∫ O a g ⋅ d l = V ( b ) − V ( a ) {\displaystyle {\begin{aligned}W&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=-\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} -\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {\mathcal {O}} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=-\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} +\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {a} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )\end{aligned}}} 因此,在重力場中移動每單位質量的物體所需的功,等於兩點之間重力位的差。如果想將物體移動到了離質點 M {\displaystyle M} 更遠的地方,則一定要做正功。上式也可以看做是將單位質量的物體從無限遠處移到該點所需的功。
由上述的計算得知, a {\displaystyle \mathbf {a} } 、 b {\displaystyle \mathbf {b} } 兩點之間重力位的差等於
V ( b ) − V ( a ) = − ∫ a b g ⋅ d l {\displaystyle V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )=-\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} } 然而根據梯度定理(線積分基本定理),重力位的梯度 ∇ V {\displaystyle \mathbf {\nabla } V} 沿曲線的積分,可用重力位在該曲線兩端的值之差來計算:
V ( b ) − V ( a ) = ∫ a b ( ∇ V ) ⋅ d l {\displaystyle V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }(\mathbf {\nabla } V)\cdot \mathbf {dl} } 所以
∫ a b ( ∇ V ) ⋅ d l = − ∫ a b g ⋅ d l {\displaystyle \int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }(\mathbf {\nabla } V)\cdot \mathbf {dl} =-\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} } 由於對於任何點 a {\displaystyle \mathbf {a} } 、 b {\displaystyle \mathbf {b} } 都是如此,因此被積數必須相等:
g = − ∇ V {\displaystyle \mathbf {g} =-\mathbf {\nabla } V} 這是重力位的一個重要性質。
在公制單位 中,力的單位是牛頓 ,質量的單位是公斤 ,所以重力場的單位是牛頓/公斤而重力位的單位是牛頓公尺/公斤,或焦耳/公斤。
经典力学中,一個質量分布產生的重力位,等於各個點質量的重力位的疊加。如果一個質量分布由有限個點質量組成,點質量的位置為 r 1 , . . . , r n {\displaystyle \mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{n}} ,質量為 m 1 , . . . , m n {\displaystyle m_{1},...,m_{n}} ,那麼其在點 r {\displaystyle \mathbf {r} } 產生的重力位 V ( r ) {\displaystyle V(\mathbf {r} )} 等於
V ( r ) = ∑ i = 1 n − G m i | r − r i | . {\displaystyle V(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} |}}.} 如果在三維歐氏空間 R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} 上將質量分佈以測度 d m {\displaystyle \mathbf {d} m} 給出,則重力位等於 − G / r {\displaystyle -G/r} 對 d m {\displaystyle \mathbf {d} m} 的卷積 。[ 6] 在理想的情況下,這等價於積分
V ( r ) = − ∫ R 3 G | r − r ′ | d m ( r ′ ) , {\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\mathbf {d} m(\mathbf {r} \prime ),} 式中 | r − r ′ | {\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |} 代表點 r {\displaystyle \mathbf {r} } 與點 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} \prime } 的距離。如果該質量分布在點 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的密度為 ρ ( r ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )} ,那麼 d m {\displaystyle \mathbf {d} m} 便等於密度 ρ ( r ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )} 與單位體積 d τ {\displaystyle \mathbf {d} \tau } 的乘積: d m = ρ ( r ) d τ {\displaystyle \mathbf {d} m=\rho (\mathbf {r} )\mathbf {d} \tau } ,而重力位就等於體積分
V ( r ) = − ∫ R 3 G | r − r ′ | ρ ( r ′ ) d τ ( r ′ ) . {\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\rho (\mathbf {r} \prime )\mathbf {d} \tau (\mathbf {r} \prime ).} 如果有一個重力場 g {\displaystyle \mathbf {g} } 由質量分布 ρ {\displaystyle \rho } 產生,使用高斯定律 (英語:Gauss's law for gravity )的微分形式可以獲得
∇ ⋅ g = − 4 π G ρ . {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .} 由於 g = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {g} =-\mathbf {\nabla } V.} ,帶入高斯定律後可得到重力的泊松方程式
∇ 2 V = 4 π G ρ . {\displaystyle {\nabla }^{2}V=4\pi G\rho .} 若密度處處為零,則上式便退化為拉普拉斯方程 。泊松方程可以使用格林函數 求解。
根據殼層定理 ,若存在一個球形對稱的質量分佈,對對於處在分佈外面的觀察者而言,其行為就好像所有質量都集中在球心的個點質量,因此可以等效地作為點質量來處理。在地球表面,重力加速度g 大約為9.8 m/s2 ,儘管該值隨緯度和海拔高度略有變化(因為地球是扁球形,極點處的加速度大小略大於赤道處的加速度大小。)
在一個密度均勻的球體內,可以求出其重力位 V ( r ) {\displaystyle V(r)} 等於 [ 7]
V ( r ) = 2 3 π G ρ ( r 2 − 3 R 2 ) , r ≤ R . {\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho (r^{2}-3R^{2}),\qquad r\leq R.} 在廣義相對論 中,重力位被度量張量 取代。當重力場的來源較弱並且移動速度比光速 慢很多時,廣義相對論就會簡化為牛頓萬有引力理论,且在一阶度規張量可表示为重力位的函数。[ 8]
在計算空間中的重力位
V ( r ) = − ∫ R 3 G | r − r ′ | ρ ( r ′ ) d τ ( r ′ ) {\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\rho (\mathbf {r} \prime )\mathbf {d} \tau (\mathbf {r} \prime )} 時,牽涉到計算 | r − r ′ | {\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |} 的倒數的積分,這個積分的難易度雖著質量分布 ρ {\displaystyle \rho } 而異。為了將計算化簡,這時候可以使用多極展開 ,將式子化為 1 / r {\displaystyle 1/r} 的冪級數 ,讓積分變得容易得多。做理論運算時,在允許誤差範圍內,時常可以只取多極展開幾個最低階的非零項,忽略其它剩下的、數值超小的項。
下表[來源請求] 給出了關於來自地球,太陽和銀河系的引力在不同位置上的重力位大小;換句話說,位於地球表面的物體需要60 MJ/kg的动能才能“脫離”地球的重力場,另外要有900 MJ/kg才能脫離太陽的重力場,而超過130 GJ/kg才能脫離銀河系的重力場。重力位是逃離速度的平方的一半。
地點 地球 引力的重力位 太阳 引力的重力位 银河系 引力的重力位 地球表面 60 MJ/kg 900 MJ/kg ≥ 130 GJ/kg 近地轨道 57 MJ/kg 900 MJ/kg ≥ 130 GJ/kg 旅行者1号 (距離地球170億公里) 23 J/kg 8 MJ/kg ≥ 130 GJ/kg 距離地球 0.1 光年 處 0.4 J/kg 140 kJ/kg ≥ 130 GJ/kg
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