數學 中,Θ函數 是一種多複變 特殊函數 。其應用包括阿貝爾簇 與模空間 、二次形式 、孤立子 理論;其格拉斯曼代數 推廣亦出現於量子場論 ,尤其於超弦 與D-膜 理論。
Jacobi theta 1 Jacobi theta 2 Jacobi theta 3 Jacobi theta 4 Θ函數最常見於椭圓函數 理論。相對於其「z 」 變量,Θ函數是拟周期函数 (quasiperiodic function),具有「擬周期性」。在一般下降理論 中,Θ函數是來自線叢 條件。
雅可比Θ函數取二變量 z {\displaystyle z\,} 與 τ {\displaystyle \tau \,} ,其中 z {\displaystyle z\,} 為任何複數 ,而 τ {\displaystyle \tau \,} 為上半複平面 上一點;此函數之定義為:
ϑ ( z ; τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e ( π i n 2 τ + 2 π i n z ) {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}} 。 若固定 τ {\displaystyle \tau \,} ,則此成為一週期為 1 {\displaystyle 1\,} 的單變量 ( z ) {\displaystyle (z)\,} 整函數 的傅里葉級數 :
ϑ ( z + 1 ; τ ) = ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )} 。 在以 τ {\displaystyle \tau \,} 位移時,此函數符合:
ϑ ( z + a + b τ ; τ ) = e ( − π i b 2 τ − 2 π i b z ) ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\ e^{(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)}\vartheta (z;\tau )} ; 其中 a {\displaystyle a\,} 與 b {\displaystyle b\,} 為整數。
可定義輔助函數:
ϑ 01 ( z ; τ ) = ϑ ( z + 1 2 ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=\vartheta (z+{\frac {1}{2}};\tau )} ϑ 10 ( z ; τ ) = e π i τ 4 + π i z ϑ ( z + τ 2 ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }z}\vartheta (z+{\frac {\tau }{2}};\tau )} ϑ 11 ( z ; τ ) = e π i τ 4 + π i ( z + 1 2 ) ϑ ( z + τ + 1 2 ; τ ) . {\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }(z+{\frac {1}{2}})}\vartheta (z+{\frac {\tau +1}{2}};\tau ).} 其中符號依黎曼 與芒福德 之習慣;雅可比 的原文用變量 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,} 替換了 τ {\displaystyle \tau \,} ,而稱本条目中的Θ為 θ 3 {\displaystyle \theta _{3}\,} , ϑ 01 {\displaystyle \vartheta _{01}} 為 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}\,} , ϑ 10 {\displaystyle \vartheta _{10}} 為 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,} , ϑ 11 {\displaystyle \vartheta _{11}} 為 − θ 1 {\displaystyle -\theta _{1}\,} 。
若設 z = 0 {\displaystyle z=0\,} ,則我们可從以上獲得四支單以 τ {\displaystyle \tau \,} 為變量之函數,其中 τ {\displaystyle \tau \,} 取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」(theta constant);我们可以用Θ函數定義一系列模形式 ,或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得:
ϑ ( 0 ; τ ) 4 = ϑ 01 ( 0 ; τ ) 4 + ϑ 10 ( 0 ; τ ) 4 {\displaystyle \vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}} , 是為四次費馬曲線 。
雅可比恆等式描述模羣 在Θ函數之作用;模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。設:
α = ( − i τ ) 1 2 e π i z 2 τ {\displaystyle \alpha =(-{\mathrm {i} }\tau )^{\frac {1}{2}}e^{{\pi {\mathrm {i} }z^{2}}{\tau }}\,} 則
ϑ ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta ({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta (z;\tau )} ϑ 01 ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ 10 ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{01}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{10}(z;\tau )} ϑ 10 ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{10}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{01}(z;\tau )} ϑ 11 ( z τ ; − 1 τ ) = − α ϑ 11 ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{11}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=-\alpha \vartheta _{11}(z;\tau )} 我们可用變量 w {\displaystyle w\,} 與 q {\displaystyle q\,} ,代替 z {\displaystyle z\,} 與 τ {\displaystyle \tau \,} ,來表示ϑ。設 w = e π i z {\displaystyle w=e^{\pi {\mathrm {i} }z}\,} 而 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,} 。則ϑ可表示為:
ϑ ( w ; q ) = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 . {\displaystyle \vartheta (w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} 而輔助Θ函數可表示為:
ϑ 01 ( w ; q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n w 2 n q n 2 , {\displaystyle \vartheta _{01}(w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},} ϑ 10 ( w ; q ) = q 1 4 ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n + 1 q n 2 + n , {\displaystyle \vartheta _{10}(w;q)=q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},} ϑ 11 ( w ; q ) = i q 1 4 ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n w 2 n + 1 q n 2 + n . {\displaystyle \vartheta _{11}(w;q)={\mathrm {i} }q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.} 此表示式不需要指數函數 ,所以適用於指數函數無每一處定義域,如p進數 域。
雅可比三重積恆等式 (Jacobi's triple product identity)中指出:若有複數 w {\displaystyle w\,} 和 q {\displaystyle q\,} ,其中 | q | < 1 {\displaystyle |q|<1\,} 而 w ≠ 0 {\displaystyle w\neq 0\,} ,則
∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + w 2 q 2 m − 1 ) ( 1 + w − 2 q 2 m − 1 ) = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 . {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} 此式可以用基本方法證明,如戈弗雷·哈罗德·哈代 和爱德华·梅特兰·赖特 共同编著的《数论导引 》(英語:An Introduction to the Theory of Numbers )。
若用nome 變量 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }\,} 與 w = e π i z {\displaystyle w=e^{\pi iz}\,} 表示,則有:
ϑ ( z ; τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ exp ( π i τ n 2 ) exp ( π i z 2 n ) = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 . {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(\pi iz2n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} 由此得到Θ函數的積公式:
ϑ ( z ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − exp ( 2 m π i τ ) ) ( 1 + exp ( ( 2 m − 1 ) π i τ + 2 π i z ) ) ( 1 + exp ( ( 2 m − 1 ) π i τ − 2 π i z ) ) {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right)} 三重積等式左邊可以擴展成:
∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + ( w 2 + w − 2 ) q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ) , {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+(w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),} 即
ϑ ( z | q ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + 2 cos ( 2 π z ) q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ) {\displaystyle \vartheta (z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)} 。 这个式子在z 取實值時尤為重要。 各輔助Θ函數亦有類似之積公式:
ϑ 01 ( z | q ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − 2 cos ( 2 π z ) q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ) . {\displaystyle \vartheta _{01}(z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).} ϑ 10 ( z | q ) = 2 q 1 / 4 cos ( π z ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + 2 cos ( 2 π z ) q 2 m + q 4 m ) . {\displaystyle \vartheta _{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).} ϑ 11 ( z | q ) = − 2 q 1 / 4 sin ( π z ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − 2 cos ( 2 π z ) q 2 m + q 4 m ) . {\displaystyle \vartheta _{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).} 雅可比Θ函數可用積分表示,如下:
ϑ ( z ; τ ) = − i ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 u z + π u ) sin ( π u ) d u {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}du} ϑ 01 ( z ; τ ) = − i ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 u z ) sin ( π u ) d u . {\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}du.} ϑ 10 ( z ; τ ) = − i e i z + i π τ / 4 ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 u z + π u + π τ u ) sin ( π u ) d u {\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=-ie^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du} ϑ 11 ( z ; τ ) = e i z + i π τ / 4 ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ( 2 u z + π τ u ) sin ( π u ) d u {\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du} 黎曼 常用關係式
ϑ ( 0 ; − 1 τ ) = ( − i τ ) 1 2 ϑ ( 0 ; τ ) {\displaystyle \vartheta (0;-{\frac {1}{\tau }})=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )} 以證黎曼ζ函數 之函數方程 。他寫下等式:
Γ ( s 2 ) π − s 2 ζ ( s ) = 1 2 ∫ 0 ∞ [ ϑ ( 0 ; i t ) − 1 ] t s 2 d t t {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{\frac {s}{2}}{\frac {dt}{t}}} ; 而此積分於替換 s → 1 − s {\displaystyle s\to 1-s} 下不變。 z {\displaystyle z\,} 非零時之積分,在赫尔维茨ζ函數 一文有描述。
雅可比用Θ函數來構造椭圓函數,並使其有易於計算之形式,因为Θ函數中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圓函數成兩枚上述Θ函數之商,这可参见雅可比椭圆函数 的定义。魏爾施特拉斯橢圓函數 亦可由雅可比Θ構造:
℘ ( z ; τ ) = − ( log ϑ 11 ( z ; τ ) ) ″ + c {\displaystyle \wp (z;\tau )=-(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))''+c} 其中二次微分相對於z ,而常數c 使 ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z)} 的罗朗級數 (於 z = 0)常項為零,因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数,和为零,而魏爾施特拉斯橢圓函數的所有极点留数均为零,所以这是必要的。
設η為戴德金η函數 。則
ϑ ( 0 ; τ ) = η 2 ( τ + 1 2 ) η ( 2 τ + 1 ) {\displaystyle \vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}} . 雅可比Θ函數為一維熱方程 、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設z = x 取實值,τ = it 而t 取正值。則有
ϑ ( x , i t ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ exp ( − π n 2 t ) cos ( 2 π n x ) {\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)} 此解此下方程:
∂ ∂ t ϑ ( x , i t ) = 1 4 π ∂ 2 ∂ x 2 ϑ ( x , i t ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)} 。 於t = 0時,Θ函數成為「狄拉克梳状函数 」(Dirac comb)
lim t → 0 ϑ ( x , i t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n ) {\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)} , 其中δ為狄拉克δ函数 ,故可知此解是唯一的。 因此,一般解可得自t = 0時的(週期)邊界條件與Θ函數的卷積。
雅可比Θ函在海森堡羣 之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示 一文。
若F 為一n 元二次型 ,則有一關連的Θ函數
θ F ( z ) = ∑ m ∈ Z n exp ( 2 π i z F ( m ) ) {\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))} 其中Z n 為整數格 。此Θ函數是模羣(或某適當子羣)上的權n /2 模形式 。在其富理埃級數
θ F ( z ) = ∑ k = 0 ∞ R F ( k ) exp ( 2 π i k z ) {\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi ikz)} 中,R F (k ) 稱為此模形式之「表示數 」(representation numbers)。
設
H n = { F ∈ M ( n , C ) s . t . F = F T and Im F > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}} 為一集對稱方矩陣,其虚部為正定 ,一般稱H n 為“西格尔上半平面 ”(Siegel upper half-plane),它是上半複平面 的高維推廣。模羣之n 維推廣為辛羣 Sp(2n,Z ): 當n = 1 時, Sp(2,Z ) = SL(2,Z )。同余子群 (congruence subgroup)的n 維推廣為態射核 Ker { Sp ( 2 n , Z ) → Sp ( 2 n , Z / k Z ) } {\displaystyle {\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}} 。
若設 τ ∈ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}} ,則可定義黎曼Θ函數 :
θ ( z , τ ) = ∑ m ∈ Z n exp ( 2 π i ( 1 2 m T τ m + m T z ) ) {\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)} ; θ ( z , τ ) = ∑ m ∈ Z n exp ( 2 π i ( 1 2 m T τ m + m T z ) ) {\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)} ; 其中 z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} 為一n 維複向量,上標T 為轉置 。然則雅可比Θ函數為其特例(設n = 1、 τ ∈ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } ;其中 H {\displaystyle \mathbb {H} } 為上半平面)。
在 C n × H n . {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.} 的緊緻子集上,黎曼Θ函數絶對一致收歛。
函數方程為:
θ ( z + a + τ b , τ ) = exp 2 π i ( − b T z − 1 2 b T τ b ) θ ( z , τ ) {\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )} ; 此方程成立於 a , b ∈ Z n {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}} , z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} , τ ∈ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}} 。
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . (See section 16.27ff.) Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions , (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2 Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta) G. H. Hardy and E. M. Wright,An Introduction to the Theory of Numbers , fourth edition (1959) , Oxford University Press David Mumford,Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7 James Pierpont Functions of a Complex Variable , Dover Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces , (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3 . 本條目含有来自PlanetMath 《Integral representations of Jacobi theta functions 》的內容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享 协议 。