Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von
Vektoren eines
-dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.
Sei
ein
-dimensionaler Vektorraum über einem Körper
. Dann heißt eine Funktion
Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:
ist multilinear, d. h. linear in jeder Variablen:
(Additivität)
(Homogenität)
ist alternierend:
![{\displaystyle \left(\exists \,r,s\in \left\{1,\ldots ,n\right\},r\neq s\colon v_{r}=v_{s}\right)\Rightarrow f\left(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ae7d37aa1594879ba0bbd3e82baba6859b69e4)
- Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation
:
, wobei
das Signum der Permutation bezeichnet.
- Sind
linear abhängig, so gilt
. Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d. h.
) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.
- Sind
zwei Determinantenfunktionen und
, dann gibt es ein
so, dass
. Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinantenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.
- Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion.
, mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion. - Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.