Die erste Variation ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ihre Eigenschaften sind in der angewandten Mathematik und der theoretischen Physik relevant. Die erste Variation spielt eine zentrale Rolle in der Variationsrechnung und wird in der analytischen Mechanik genutzt. Ein verwandtes Konzept ist die Funktionalableitung.
Sei
ein Funktionenraum;
ein Funktional mit
oder
;
Funktionen und
. Dann ist die erste Variation des Funktionals
nach
definiert als
.
Dies entspricht dem Gâteaux-Differential des Funktionals
an der Stelle
in Richtung
.
- Die erste Variation ist eine lineare Abbildung:
![{\displaystyle \delta (F(y)+\alpha G(y))(h)=\delta F(y)(h)+\alpha \delta G(y)(h)\quad \forall \alpha \in \mathbb {K} ,\,\forall F,G\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81dbac745166db0e1477e7ab9fedb8a881dad22)
- Für ein Produkt aus Funktionalen
gilt die Produktregel: ![{\displaystyle \delta F(y)(h)=\delta G(y)(h)\ H(y)+G(y)\ \delta H(y)(h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328ebcadf396e9156d2cc5494732f0c8f1736b46)
Die erste Variation von
![{\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}yy'\,\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28bc63b014e48fa9c4e642743900fcf5bda61d9)
ist nach obiger Definition
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta J(y)(h)&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\,\mathrm {d} x{\Bigg |}_{\varepsilon =0}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\,\mathrm {d} x{\Bigg |}_{\varepsilon =0}\\&=\int _{a}^{b}\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\right|_{\varepsilon =0}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime }){\bigg |}_{\varepsilon =0}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23ec73b78b8a1a3016837e563e49b2df3e4d97d)