Die Funktionalableitung auch Variationsableitung[1] ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ein Funktional ist dabei eine Abbildung, die einer Funktion eine Zahl zuordnet. Weil der zugrundeliegende Vektorraum in diesem Fall also ein Funktionenraum ist, wird „in Richtung einer Funktion“ abgeleitet. Ein verwandtes Konzept ist die erste Variation.
Die Funktionalableitung ist in der theoretischen Physik relevant. Dort wird sie unter anderem in der Dichtefunktionaltheorie und der Feldtheorie verwendet.
Sei
eine Untermenge eines topologischen Vektorraumes und
mit
ein (nicht zwingend lineares) Funktional, dann ist die erste Variation von
definiert durch
![{\displaystyle \delta F[y]:=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[y+\varepsilon \phi ]-F[y]}{\varepsilon }}={\frac {d}{d\varepsilon }}F[y+\varepsilon \phi ]{\bigg \vert }_{\varepsilon =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b8e23e0728c81f2c7a632db16944c1e9427dfe)
für eine beliebige Funktion
(in einem nicht näher bestimmten Funktionenraum
) mit der einzigen Bedingung, dass
auf
eindeutig definiert ist für hinreichend kleine
. Der Funktionenraum
muss kein Unterraum von
sein, so lange
für alle
ist.
Die Funktionalableitung
von
ist dann definiert durch
.
Diese Definition impliziert, dass die rechte Seite in die Form eines linearen Integraloperators mit Integralkern
gebracht werden kann. Dies ist im Allgemeinen für beliebige Funktionale und beliebige
nicht möglich. Ein Funktional, für das eine solche Integralform existiert, heißt differenzierbar.[1][2]
Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten, was durch die Notation
ausgedrückt werden soll.
Analog zur üblichen Richtungsableitung hat auch die Funktionalableitung folgende Eigenschaften.
- Die Funktionalableitung ist eine lineare Abbildung[2]:
![{\displaystyle {\frac {\delta }{\delta y(x)}}(\alpha F[y]+\beta G[y])=\alpha {\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}+\beta {\frac {\delta G[y]}{\delta y(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabf643c64929b175c49df421dae2b2ef5823a68)
- Für ein Produkt aus Funktionalen
gilt die Produktregel[2]: ![{\displaystyle {\frac {\delta }{\delta y(x)}}(F[y]G[y])=F[y]{\frac {\delta G[y]}{\delta y(x)}}+{\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}G[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c389e7e99c23dbc144049b3acfdd32e634758c57)
- Falls
linear ist, dann ist
. - Dies ist auch ein Folgerung aus dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz: Weil
hier ein lineares Funktional ist, lässt es sich als Skalarprodukt
darstellen.
- Operiert das Funktional
zwischen Teilmengen von Banachräumen und ist die Funktionalableitung
von
eine lineare Abbildung, dann existiert auch die Fréchet-Ableitung von
und stimmt mit
überein.[1]
- Das nicht-lineare Funktional
![{\displaystyle F[y]=\int _{\mathbb {R} }y(x)^{2}g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8908dd8fa999eba3a66bcbbcb5671a7aeef6eb8)
- hat die Funktionalableitung
, wie sich mithilfe der Definition zeigen lässt:
.
- Da dies für alle Testfunktionen
gelten muss, folgt
.
![{\displaystyle E_{x}[\varrho ]:=c\int _{\mathbb {R} }\varrho (r)^{4/3}d^{3}r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006e253034d371248dd533e9f8c742c5bbbd7e74)
- ein Funktional der Dichte
.[3] Das zugehörige Austauschpotential ist
.
- Ein weiteres, mehrdimensionales Beispiel aus der Dichtefunktionaltheorie ist die Elektron-Elektron-Wechselwirkung als Funktional
der Dichte
:
![{\displaystyle F[\varrho ]={\frac {k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho (\mathbf {r} )\varrho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185404ae9ea560d4640831091d3a689260be04cf)
- Es gilt
.
- Da dies für alle Testfunktionen
gelten muss, folgert man das[2] Ergebnis
.
- In der Quantenfeldtheorie ist folgendes Beispiel nützlich, um Korrelationsfunktionen aus Zustandssummen zu berechnen. Das Funktional ist
.
- Mithilfe des Grenzwerts
![{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon a}-1}{\varepsilon }}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1+\varepsilon a+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}a^{2}+...-1}{\varepsilon }}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb803c7272bf039e9c3aefa6fb963ea0703e6c5)
- zeigt man
.
- Lässt man auch Distributionen zu, so kann man eine reelle Funktion
mithilfe der Delta-Distribution als Funktional schreiben:
.
- In diesem Sinne ist[4]
.
Die Abbildung
![{\displaystyle \phi \mapsto \left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[y+\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbed9c87a3c979999d1264d6f2d8d2685480a46)
ist ein lineares Funktional. Erfüllt es zusätzliche Voraussetzungen, so kann auf dieses Funktional der Darstellungssatz von Riesz-Markow angewandt werden. Dann gibt es ein Maß
, so dass das Funktional als Integral gegen dieses Maß aufgefasst werden kann, das heißt es gibt eine Darstellung
.
Kann man zusätzlich den Satz von Radon-Nikodým anwenden, so gibt es eine Dichtefunktion, so dass
![{\displaystyle \delta F[y]=\int _{D}y(x){\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5432b07419eebb0699a5e09d29e3781a3e1624)
gilt. Diese Dichtefunktion ist dann die Funktionalableitung.
- ↑ a b c Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler: Density Functional Theory: An Advanced Course (Theoretical and Mathematical Physics). Springer, 2011, ISBN 978-3-642-14089-1, S. 405–406.
- ↑ a b c d R. G. Parr, W. Yang Appendix A, Functionals. In: Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. Oxford University Press, New York 1989, ISBN 978-0195042795, S. 246–254.
- ↑ Klaus Capelle, A bird's-eye view of density-functional theory, Version 5, November 2006, Gleichung (83)
- ↑ Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler: Density Functional Theory: An Advanced Course (Theoretical and Mathematical Physics). Springer, 2011, ISBN 978-3-642-14089-1, S. 407–408.