Ein Gruppenschema ist in der algebraischen Geometrie die Verallgemeinerung einer algebraischen Gruppe. Typische Beispiele sind affine algebraische Gruppen oder abelsche Varietäten. Im Unterschied zur klassischen Sichtweise können Gruppenschemata über beliebigen Schemata definiert werden. Solche finden Anwendung in der Theorie von Modulräumen abelscher Varietäten.
Sei
ein Schema und sei
die Kommakategorie der Schemata über
. Die Objekte von
nennen wir
-Schemata. Sie hat endliche Produkte. Diese sind durch das Faserprodukt
von
-Schemata gegeben.
Ein Gruppenschema über
(
-Gruppenschema) ist ein Gruppenobjekt in
.[1]
Konkret heißt das:
Ein
-Gruppenschema
über
besteht aus einem
-Schema
zusammen mit drei Morphismen
, Multiplikation
, Inklusion des neutralen Elements
, Inversion
sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
ist assoziativ, das heißt
als Morphismen
.
ist ein zweiseitiges neutrales Element für
, das heißt
und
, wobei
(bzw.
) die Projektion auf den ersten (bzw. zweiten) Faktor ist.
ist ein zweiseitiges inverses Element für
, das heißt
und
. Hier bezeichnet
die Diagonale.
Diese Regeln sind den Gruppenaxiomen nachempfunden.
Alternativ kann ein
-Gruppenschema als darstellbarer Funktor
in die Kategorie der Gruppen
beschrieben werden. Nach dem Yoneda-Lemma sind beide Definitionen äquivalent.
Ein Morphismus von Gruppenschemata
ist ein Morphismus
von
-Schemata, der mit den Strukturmorphismen verträglich ist, das heißt
,
und
. Tatsächlich folgen die letzten beiden Eigenschaften bereits aus
. Die Klasse der
-Gruppenschemata bildet zusammen mit Morphismen von
-Gruppenschemata wieder eine Kategorie
.
Die folgenden Begriffe sind im Allgemeinen zu unterscheiden.
- Ein
-Untergruppenschema von
ist ein darstellbarer Unterfunktor von
.[2] - Ein abgeschlossenes
-Untergruppenschema von
ist ein Morphismus von
-Gruppenschemata
, der eine abgeschlossene Immersion ist.[3] - Ein offenes
-Untergruppenschema von
ist ein Morphismus von
-Gruppenschemata
, der eine offene Immersion ist.[3]
- Ist
eine Eigenschaft von
-Schemata, das heißt eine Teilklasse der Objekte von
, die durch eine logische Formel definiert ist, so definiert diese eine Eigenschaft von
-Gruppenschemata. Ist
ein
-Gruppenschema, so sagen wir
habe die Eigenschaft
, falls das unterliegende
-Schema die Eigenschaft
hat.[4] So erhalten wir beispielsweise die Definitionen von quasikompakt, affin, flach, von endlichem Typ, von endlicher Präsentation, endlich, quasisepariert, separiert, unverzweigt, glatt, étale etc. - Ein Gruppenschema ist kommutativ, wenn
gilt. Hierbei ist
die Vertauschung. Sie wird von der universellen Eigenschaft des Produktes von
und
induziert.
Ist
ein
-Gruppenschema und
ein Schemamorphismus, so ist das Faserprodukt
auf natürliche Weise ein
-Gruppenschema. Ist
eine Eigenschaft von relativen Schemata, die stabil unter Basiswechsel ist, so ist die zugehörige Eigenschaft von Gruppenschemata ebenfalls stabil unter Basiswechsel.
- Ist
endlich, so ist
endlich.[5] - Ist
affin, so ist
affin.[6] - Ist
flach, so ist
flach.[7] - Ist
(lokal) von endlichem Typ, so ist
(lokal) von endlichem Typ.[8] - Ist
(quasi-)separiert, so ist
(quasi-)separiert.[9] - Ist
ganz, so ist
ganz.[5] - ...
Ein affines
-Gruppenschema ist ein
-Gruppenschema
, sodass der Strukturmorphismus
affin ist. Aus der Entsprechung von affinen
-Schemata und quasi-kohärenten
-Algebren über das relative Spektrum ergibt sich eine kontravariante Äquivalenz zwischen den folgenden beiden Kategorien:[10]
- Die Kategorie der affinen
-Gruppenschemata. - Die Kategorie der quasi-kohärenten Hopf
-Algebren.
Ist
affin, so ist letztere Kategorie äquivalent zur Kategorie der
-Hopf-Algebren.
Jedes Schema
besitzt einen eindeutigen Schemamorphismus
. Durch Basiswechsel definiert also jedes
-Gruppenschema
auf eindeutige Weise ein
-Gruppenschema
.
- Die additive Gruppe
ist als
-Gruppenschema auf
-Punkten durch
![{\displaystyle \mathbb {G} _{a}(T):=(\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T}),+)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361e773a7c11934c7cba97624bb05f4e36d789a7)
- definiert.[11][12] Der Funktor wird durch die
-Hopf-Algebra
mit den Operationen ![{\displaystyle {\begin{array}{rll}\Delta :&\mathbb {Z} [x]\to \mathbb {Z} [x]\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [x],&x\mapsto x\otimes 1+1\otimes x\\\varepsilon :&\mathbb {Z} [x]\to \mathbb {Z} ,&x\mapsto 0\\s:&\mathbb {Z} [x]\to \mathbb {Z} [x],&x\mapsto -x\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f280bcbbb0014c1e3593289f9f67f5210b8ab6f8)
- dargestellt.
- Die multiplikative Gruppe
ist als
-Gruppenschema auf
-Punkten durch
![{\displaystyle \mathbb {G} _{m}(T):=(\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T})^{\times },\cdot )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40f9a8435f5c81557f855b7ffe7b4b2f3064e89)
- definiert.[11][13] Der Funktor wird durch die
-Hopf-Algebra
mit den Operationen ![{\displaystyle {\begin{array}{rll}\Delta :&\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [x,x^{-1}],&x\mapsto x\otimes x\\\varepsilon :&\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} ,&x\mapsto 1\\s:&\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}],&x\mapsto x^{-1}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b2c018bb65b8787e5c981595ab4d8bc65ecfa7)
- dargestellt.
- Die allgemeine lineare Gruppe
für
ist als
-Gruppenschema auf
-Punkten durch
![{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(T):=\mathrm {GL} _{n}(\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8713fd7216c689df743620e25032668a5ac87c)
- definiert.[14] Der Funktor wird durch die Hopf-Algebra
mit
mit ![{\displaystyle \mathrm {det} =\mathrm {det} ((x_{ij})_{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc9ac9cfeb89c98b69403e794d368f979dd2a2e)
![{\displaystyle \Delta (x_{ij})=\sum _{k=1}^{n}x_{ik}\otimes x_{kj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11c3b5c1558d94c5471071eb706f35a0f21ff3b)
![{\displaystyle \varepsilon (x_{ij})=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a5539bde16e1ab2754952c389d2c63837df11f)
Eintrag
der Inversen von ![{\displaystyle (x_{ij})_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07728743b106befc24fd1c041356eb31abf8155a)
- dargestellt.
- Die spezielle lineare Gruppe
für
kann als abgeschlossenes Untergruppenschema von
definiert werden. Dazu genügt es ein Hopf-Ideal von
aus dem vorigen Beispiel anzugeben. Das Hauptideal
ist das gesuchte Hopf-Ideal. Die Hopf-Algebra zu
ist also
. Alternativ kann
definiert werden.
- ↑ SGA 3.1, I.4
- ↑ SGA 3, I.1.2
- ↑ a b 047D
- ↑ 047E
- ↑ a b 01WL
- ↑ 01SD
- ↑ 01U9
- ↑ 01T4
- ↑ 01KU
- ↑ SGA 3.1, I.4.2
- ↑ a b SGA 3.1, I.4.3
- ↑ 022V
- ↑ 022U
- ↑ 022W