Konstanter Funktor – Wikipedia
Der konstante Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Ein konstanter Funktor zwischen zwei Kategorien ist ein Funktor, der jedes Objekt auf ein festes Objekt der Zielkategorie und jeden Morphismus auf die Identität dieses festen Objekts abbildet.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Seien und zwei Kategorien, sei ein Objekt in . Die Zuordnungen
- Objekt aus
- Morphismus aus
bilden einen Funktor . Man nennt diesen den konstanten Funktor mit Wert und bezeichnet ihn oft auch mit .[1][2][3]
Bemerkungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Dass es sich bei diesen Zuordnungen um einen Funktor handelt, ergibt sich direkt aus .
- Kegel und Kokegel sind natürliche Transformationen zwischen Funktoren auf kleinen Kategorien konstanten Funktoren.
Der Funktor der konstanten Funktoren
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Seien und zwei Kategorien, und Objekte aus , die auch die durch sie gegebenen konstanten Funktoren bezeichnen. Ist und definiert durch für alle Objekte , so ist eine natürliche Transformation zwischen den konstanten Funktoren. Auf diese Weise erhält man einen Funktor von in die Funktorkategorie , der jedes Objekt auf den zugehörigen konstanten Funktor abbildet.[4] Der Funktor erhält sowohl Limites als auch Kolimites.[5]
Ist eine kleine Kategorie und existieren in alle Limites mit Indexkategorie , so hat man eine Adjunktion . Dabei bezeichnet einen durch Wahlen von Limes-Objekten gebildeten Funktor .
Ist eine kleine Kategorie und existieren in alle Kolimites mit Indexkategorie , so hat man eine Adjunktion . Dabei bezeichnet einen durch Wahlen von Kolimes-Objekten gebildeten Funktor .[6]
Trifft beides zu, erhält man die leicht einprägsame Formel (die Pfeile unter dem Limeszeichen in nachstehender Formel zeigen zur Mitte):
- .
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 0-486-80903-X, Definition 3.1.1, S. 74.
- ↑ Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. Springer, 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 3.2.21 2..
- ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory. Allyn and Bacon Inc., 1972, ISBN 978-3-540-05634-8, Beispiel 9.2 (4).
- ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory. Allyn and Bacon Inc., 1972, ISBN 978-3-540-05634-8, 15.8, S. 97.
- ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory. Allyn and Bacon Inc., 1972, ISBN 978-3-540-05634-8, Beispiel 24.4 (9), S. 168.
- ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory. Allyn and Bacon Inc., 1972, ISBN 978-3-540-05634-8, 25.7, S. 199.