Treue Funktoren und die hier ebenfalls zu besprechenden vollen und volltreuen Funktoren, die eng damit zusammenhängen, sind in der mathematischen Theorie der Kategorientheorie betrachtete Funktoren mit speziellen Eigenschaften.
Sei
ein Funktor zwischen zwei Kategorien
und
. Ein solcher Funktor ordnet definitionsgemäß jedem Objekt
und jedem Morphismus
aus
, wobei
und
Objekte aus
seien, ein Objekt
beziehungsweise einen Morphismus
zu, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.
Zu jedem Paar
von Objekten aus
hat man (im Falle von lokal kleinen Kategorien) eine Abbildung
![{\displaystyle T_{X,Y}\colon \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)\,\rightarrow \,\operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(T(X),T(Y)),\,f\mapsto T(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74bc705938d1b60a80235a0c045c328566c56014)
Man nennt den Funktor
treu (bzw. voll bzw. volltreu), wenn die Abbildungen
für jedes Paar
von Objekten aus
injektiv (bzw. surjektiv bzw. bijektiv) sind. An Stelle von volltreu findet man auch die Bezeichnung völlig treu.
Ist
ein Funktor, so beziehen sich die Begriffe treu, voll und volltreu nur auf Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten, sie beziehen sich nicht auf die Klassen aller Objekte bzw. aller Morphismen, insbesondere sagt die Treue des Funktors
nicht notwendigerweise aus, dass eine der Abbildungen
![{\displaystyle T_{\text{Ob}}\colon \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})\rightarrow \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}}),\,X\mapsto T(X),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe87544de15330b46214759fcce5747f488d7735)
![{\displaystyle T_{\text{Mor}}\colon \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})\rightarrow \operatorname {Mor} ({\mathcal {D}}),\,f\mapsto T(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de664aaebec1334f55f3d2a16330642e5f1e33f3)
injektiv ist. Um den Zusammenhang dieser Begriffe und die Verwendung obiger Definitionen zu beleuchten, wird hier die folgende einfache Aussage bewiesen:
- Wenn der Funktor
treu ist, so ist
genau dann injektiv, wenn
injektiv ist.
Ist
injektiv und sind
mit
, so folgt
, also nach Voraussetzung
und damit
. Daher ist
injektiv.
Sei nun umgekehrt
injektiv, und seien
mit
. Es ist
zu zeigen. Zu den Morphismen
und
gehören Objekte
aus der Kategorie
mit
und
. Aus
folgt
und
. Weil
nach Voraussetzung injektiv ist, erhalten wir
und
. Daher ist
und die Treue von
liefert, wie gewünscht,
.
Man nennt einen Funktor
eine Einbettung, wenn
injektiv ist. Für einen treuen Funktor ist die Einbettungseigenschaft nach Obigem äquivalent zur Injektivität von
.
Ist der Funktor
eine Einbettung, so bilden die Objekte
mit den Morphismen
, eine Unterkategorie von
, die mit
bezeichnet wird. Da das für beliebige Funktoren, die keine Einbettungen sind, im Allgemeinen nicht der Fall ist, spielen Einbettungen eine wichtige Rolle in der Kategorientheorie.
Ist der Funktor
eine Einbettung, und ist
ein voller Funktor, so ist
eine volle Unterkategorie von
. Dies motiviert die Bezeichnung voller Funktor in obigen Definitionen. Ist also
ein volltreuer Funktor, so dass
injektiv ist, so definiert
eine Einbettung auf eine volle Unterkategorie.
Volltreue Funktoren sind auch wegen der folgenden Aussage wichtig für die Kategorientheorie:
- Seien
ein volltreuer Funktor und
ein Morphismus der Kategorie
. Dann gilt:
ist Isomorphismus
ist Isomorphismus.
Die Richtung von links nach rechts ist sehr einfach. Ist nämlich
Isomorphismus, so gibt es definitionsgemäß einen weiteren Morphismus
mit
und
. Da
Funktor ist, folgt
und genauso
, das heißt,
ist ein Isomorphismus.
Die Volltreue wird für die Umkehrung benötigt. Ist nämlich
ein Isomorphismus, so gibt es einen Morphismus
mit
und
. Da
voll ist, gibt es einen Morphismus
mit
. Dann folgt
und genauso
. Wegen der Treue von
folgt nun
und
, das heißt,
ist ein Isomorphismus.