Super-Eulersche Pseudoprimzahl – Wikipedia

Eine Super-Eulersche Pseudoprimzahl ist eine eulersche Pseudoprimzahl zur Basis a, deren sämtliche Teiler ausschließlich aus der 1, Primzahlen, anderen Eulerschen Pseudoprimzahlen der gleichen Basis a und sich selbst besteht. Äquivalent ist die Definition: Super-Eulersche Primzahl heißt eine zusammengesetzte Zahl ${\displaystyle n=m_{1}*m_{2}}$, wenn für jede Zerlegung in zwei Faktoren m₁ und m₂ diese beiden Faktoren die Gleichungen ${\displaystyle a^{m_{i}}-a\equiv 0\mod m_{i}}$ erfüllen. Super-Eulersche Pseudoprimzahlen zur Basis 2 nennt man auch Super-Poulet-Zahlen.

Alle Teiler einer Super-Eulerschen Pseudoprimzahl, einschließlich 1 und der Super-Eulerschen Pseudoprimzahl haben die folgende Eigenschaft:

${\displaystyle a^{d}-a}$ ist durch d teilbar.

alternativ lässt sich das auch so schreiben:

${\displaystyle a^{d-1}-1}$ ist durch d teilbar.

294409 ist eine Super-Eulersche Pseudoprimzahl zur Basis 2. Ihre Teiler sind 1, 37, 73, 109, 2701, 4033, 7957 und 294409.

37, 73 und 109 sind Primzahlen, 2701, 4033 und 7957 sind selbst Super-Eulersche Pseudoprimzahlen zur Basis.

Es ist relativ einfach, eine Super-Eulersche Pseudoprimzahl zur Basis a mit drei Primfaktoren zu konstruieren. Man muss dazu drei Eulersche Pseudoprimzahlen zur Basis a finden, die zusammen drei gemeinsame Primfaktoren besitzen. Das Produkt dieser drei Primzahlen ist dann wiederum eine Eulersche Pseudoprimzahl, und damit eine Super-Eulersche Primzahl.

Super-Poulet-Zahlen mit bis zu 7 Primfaktoren kann man aus den folgenden vier Mengen bekommen:

_{Sie stammen von Gerard Michon}

So ist 1.118.863.200.025.063.181.061.994.266.818.401 = 6421 * 12841 * 51361 * 57781 * 115561 * 192601 * 205441 eine Super-Poulet-Zahl mit sieben Primfaktoren, deren Teiler aus Primzahlen, Poulet-Zahlen und Super-Poulet-Zahlen besteht (es sind insgesamt 120 Poulet-Zahlen).

Wenn man auf die Bedingung verzichtet, dass zu den Teilern von Super-Poulet-Zahlen auch andere Poulet-Zahlen als die Super-Poulet-Zahl selbst gehören müssen, kann man auch die Poulet-Zahlen dazu rechnen, die nur zwei Primfaktoren haben.

Die kleinste solchermaßen abgespeckte Super-Poulet-Zahl ist die 341 mit den Primteilern 11 und 31.

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