Décomposition de Schur — Wikipédia

Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En algèbre linéaire, une décomposition de Schur (nommée après le mathématicien Issai Schur) d'une matrice carrée complexe M est une décomposition de la forme

où U est une matrice unitaire (U*U = I) et A une matrice triangulaire supérieure.

On peut écrire la décomposition de Schur en termes d'applications linéaires :

Soient ${\displaystyle E}$ un ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espace vectoriel de dimension ${\displaystyle n}$ muni d'un produit scalaire et ${\displaystyle v}$ un endomorphisme sur ${\displaystyle E}$, alors ${\displaystyle \exists (f_{1},...,f_{n})}$ une base orthonormée de ${\displaystyle E}$ et une famille ${\displaystyle (\varphi _{ik})_{1\leq i,k\leq n}\in \mathbb {C} }$ telle que ${\displaystyle \forall i,\;v(f_{i})=\sum _{k=i}^{n}\varphi _{ik}f_{k}}$.

Dans le cas où ${\displaystyle v}$ est l'application nulle, l'énoncé est directement vérifié, on peut donc se contenter de traiter le cas où ${\displaystyle v}$ est différente de l'application nulle. On démontre par récurrence forte sur la dimension ${\displaystyle n\geq 1}$ de ${\displaystyle E}$ le résultat énoncé. L'initialisation est triviale, pour l'hérédité on considère deux cas différents :

Si la matrice ${\displaystyle M_{v}}$ associée à ${\displaystyle v}$ dans une base quelconque est diagonalisable, alors on peut choisir ${\displaystyle f_{n+1}}$ un vecteur propre normé de ${\displaystyle M_{v}}$. On pose ${\displaystyle F={\text{Vect}}(f_{n+1})^{\perp }}$ et on considère l'application linéaire ${\displaystyle {\tilde {v}}=\pi _{F}\circ v|_{F}}$ où ${\displaystyle \pi _{F}}$ est le projecteur orthogonal sur ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle v|_{F}}$ la restriction de ${\displaystyle v}$ à ${\displaystyle F}$. Comme ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel ${\displaystyle F}$ qui est de dimension ${\displaystyle n}$, l'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base orthonormée ${\displaystyle (f_{1},...,f_{n})}$ de ${\displaystyle F}$ dans laquelle la matrice ${\displaystyle M_{\tilde {v}}}$ associée à ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ est triangulaire supérieure. Il est alors clair que ${\displaystyle (f_{1},...,f_{n},f_{n+1})}$ forme une base orthonormée dans laquelle la matrice ${\displaystyle M_{v}}$ associée à ${\displaystyle v}$ est triangulaire supérieure.

Si la matrice ${\displaystyle M_{v}}$ associée à ${\displaystyle v}$ dans une base quelconque n'est pas diagonalisable on a l'inégalité ${\displaystyle 0<{\text{rang}}(v)<n+1}$. On pose alors ${\displaystyle F={\text{ker}}(v)^{C}}$ et on considère l'application linéaire ${\displaystyle {\tilde {v}}=\pi _{F}\circ v|_{F}}$ où ${\displaystyle \pi _{F}}$ est le projecteur orthogonal sur ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle v|_{F}}$ la restriction de ${\displaystyle v}$ à ${\displaystyle F}$. Comme ${\displaystyle 1\leq {\text{dim}}(F)={\text{rang}}(v)<n+1}$ on peut utiliser l'hypothèse de récurrence qui assure l'existence d'une base orthonormée ${\displaystyle (f_{1},...,f_{{\text{dim}}(F)})}$ de ${\displaystyle F}$ dans laquelle la matrice ${\displaystyle M_{\tilde {v}}}$ associée à ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ est triangulaire supérieure. On complète cette base en une base orthonormée ${\displaystyle (f_{1},...,f_{{\text{dim}}(F)},f_{{\text{dim}}(F)+1},...,f_{n+1})}$ de ${\displaystyle E}$. Comme ${\displaystyle {\text{Vect}}(f_{{\text{dim}}(F)+1},...,f_{n+1})={\text{ker}}(v)}$, il est clair que la matrice ${\displaystyle M_{v}}$ associée à ${\displaystyle v}$ est triangulaire supérieure dans cette même base. Cela termine la récurrence.

Il existe une telle décomposition (non unique en général) pour toute matrice carrée complexe M^[1],[2].

A étant semblable à M, elle a les mêmes valeurs propres. Et A étant triangulaire, les valeurs propres se trouvent sur sa diagonale.

Puisque A = U*MU, si M est normale (M*M = MM*) alors A aussi donc (comme elle est de plus triangulaire) elle est diagonale^[3]. En particulier, si M est hermitienne (M* = M) alors A est diagonale réelle.

Si une matrice réelle M est trigonalisable, elle possède une décomposition de la même forme avec de plus U et A réelles, autrement dit

avec P orthogonale et A réelle et triangulaire supérieure.

Si M n'est pas trigonalisable, elle a « presque » une décomposition de cette forme (avec P orthogonale et A réelle) mais où A est seulement triangulaire par blocs, avec des blocs diagonaux de polynôme caractéristique irréductible, donc d’ordre 1 ou 2.

• Portail de l’algèbre