Trigonalisation — Wikipédia
En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients dans un corps K est dite trigonalisable (ou triangularisable) sur K si elle est semblable à une matrice triangulaire T à coefficients dans K, via une matrice de passage P elle aussi à coefficients dans K :
Trigonaliser (on dit aussi triangulariser) A sur K consiste à trouver de telles matrices T et P. Cela est possible (on dit alors que A est trigonalisable) si et seulement si le polynôme caractéristique de A est scindé sur K. Par exemple, si A est à coefficients réels, elle est trigonalisable sur ℝ si et seulement si toutes ses valeurs propres (complexes a priori) sont réelles.
Dans la suite, on se donne un entier n > 0 et désignera l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K.
Matrices triangulaires
[modifier | modifier le code]Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est-à-dire une matrice de la forme
De même, une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.
Endomorphismes et matrices trigonalisables
[modifier | modifier le code]- Soit , on dit que est une matrice trigonalisable[1] s'il existe une matrice inversible et une matrice triangulaire supérieure telles que :
(ou, ce qui est équivalent : ). Cela revient à dire que est semblable dans à une matrice triangulaire supérieure (ou à une matrice triangulaire inférieure, ce qui est équivalent[2]).
En particulier :- toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable (il suffit de choisir où est la matrice identité de dimension ) ;
- toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).
- Soient un -espace vectoriel de dimension finie et un endomorphisme de . On dit que est un endomorphisme trigonalisable s'il existe une base de dans laquelle la matrice de est triangulaire supérieure.
- Ces deux définitions sont reliées par le fait qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans au moins une base de est trigonalisable ; dans ce cas, sa matrice dans n'importe quelle base de est trigonalisable.
Conditions de trigonalisation
[modifier | modifier le code]Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :
- Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X][2].
- En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.
- Sur le corps des nombres complexes (algébriquement clos d'après le théorème de d'Alembert-Gauss), Issai Schur a démontré un résultat plus précis :
Théorème de décomposition de Schur — Toute matrice carrée complexe est trigonalisable dans une base orthonormée.
- Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.
Notes
[modifier | modifier le code]- Pour des exemples, voir par exemple la leçon sur Wikiversité.
- Pour une démonstration, voir par exemple la leçon sur Wikiversité.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]- Réduction d'endomorphisme
- Décomposition de Dunford
- Théorèmes de trigonalisation simultanée :
- Théorème de Lie (1876)
- Théorème de Engel (1890)
- Théorème de McCoy (1934)
- Théorème de Lie-Kolchin (1948)