En mathématiques , et plus particulièrement en théorie analytique des nombres , la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la fonction sommatoire ( A ( x ) = ∑ n ≤ x ⋆ a ( n ) {\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n)} ) d'une fonction arithmétique , au moyen d'une transformation de Mellin inverse de la série de Dirichlet associée.
Soient (a (n ))n ∈ℕ* une fonction arithmétique et
A ( x ) = ∑ n ≤ x ⋆ a ( n ) , {\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n),} où l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être multiplié par 1/2 quand x est entier. Nous supposons que la série de Dirichlet classique
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}} admet une abscisse de convergence simple finie σc . Alors, la formule de Perron est[ 1] : pour tous réels c > max(0, σc ) et x > 0,
A ( x ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ f ( s ) x s s d s , {\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }f(s){\frac {x^{s}}{s}}~\mathrm {d} s,} où l'intégrale est semi-convergente pour x non entier et converge en valeur principale pour x entier.
Formule de Perron pour une série de Dirichlet générale [ modifier | modifier le code ] Pour une série de Dirichlet générale, de la forme
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) e − λ n s , {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)\mathrm {e} ^{-\lambda _{n}s},} on a de même[ 2] , [ 3] , [ 4] , pour tous nombres réels c > max(0, σc ) et y ∊ ]λn , λn + 1 [ ,
∑ k = 1 n a ( k ) = 1 2 i π ∫ c − i ∞ c + i ∞ f ( s ) e s y s d s . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a(k)={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }f(s){\frac {\mathrm {e} ^{sy}}{s}}~\mathrm {d} s.} Soit f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}} pour σ > σ c {\displaystyle \sigma >\sigma _{c}} , d'abscisse de convergence absolue finie σ a {\displaystyle \sigma _{a}} .
Alors on a[ 1] , si x ≥ 1 , T ≥ 1 , c > max ( 0 , σ a ) , {\displaystyle x\geq 1,T\geq 1,c>\max(0,\sigma _{a}),}
∑ n ≤ x a ( n ) = 1 2 i π ∫ c − i T c + i T f ( u ) x u u d u + O ( x c ∑ n ≥ 1 | a n | n c ( 1 + T | ln ( x / n ) | ) ) . {\displaystyle \sum _{n\leq x}a(n)={\frac {1}{2i\pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}f(u){\frac {x^{u}}{u}}\;\mathrm {d} u+O\left(x^{c}\sum _{n\geq 1}{\frac {|a_{n}|}{n^{c}(1+T|\ln(x/n)|)}}\right).} Soit f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}} pour σ > σ c {\displaystyle \sigma >\sigma _{c}} , d'abscisse de convergence absolue finie σ a {\displaystyle \sigma _{a}} , et où | a n | ≤ ψ ( n ) , {\displaystyle |a_{n}|\leq \psi (n),} pour une fonction ψ ( n ) {\displaystyle \psi (n)} croissante (au sens large).
On suppose de plus que, pour un nombre réel α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0} ,
∑ n = 0 ∞ | a ( n ) | n σ = O ( 1 ( σ − σ a ) α ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a(n)|}{n^{\sigma }}}=O\left({\frac {1}{(\sigma -\sigma _{a})^{\alpha }}}\right)} quand σ a < σ ≤ σ a + 1. {\displaystyle \sigma _{a}<\sigma \leq \sigma _{a}+1.} Alors on a[ 1] , si x ≥ 2 , T ≥ 2 , σ ≤ σ a , c := σ a − σ + 1 / ln x , {\displaystyle x\geq 2,T\geq 2,\sigma \leq \sigma _{a},c:=\sigma _{a}-\sigma +1/\ln x,}
∑ n ≤ x a ( n ) n s = 1 2 i π ∫ c − i T c + i T f ( u + s ) x u u d u + O ( x σ a − σ ( ln x ) α T + ψ ( 2 x ) x σ ( 1 + x ln T T ) ) . {\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {a(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}f(u+s){\frac {x^{u}}{u}}\;du+O\left(x^{\sigma _{a}-\sigma }{\frac {(\ln x)^{\alpha }}{T}}+{\frac {\psi (2x)}{x^{\sigma }}}\left(1+x{\frac {\ln T}{T}}\right)\right).} Pour les trois formules concernant les séries de Dirichlet classiques, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus[ 1] , [ 5] .
Soit h ( x ) {\displaystyle h(x)} la fonction valant 0 sur l'intervalle [0,1[, 1 sur l'intervalle x > 1 (et 1/2 pour x = 1 ). Alors, pour tous c , T , T' > 0 :
∀ x ≠ 1 | h ( x ) − 1 2 i π ∫ c − i T ′ c + i T x u u d u | ≤ x c 2 π | ln x | ( 1 T + 1 T ′ ) , | h ( 1 ) − 1 2 i π ∫ c − i T c + i T 1 u d u | ≤ c T + c . {\displaystyle \forall x\neq 1\quad \left|h(x)-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T'}^{c+\mathrm {i} T}{\frac {x^{u}}{u}}~\mathrm {d} u\right|\leq {\frac {x^{c}}{2\pi |\ln x|}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{T'}}\right),\qquad \left|h(1)-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}{\frac {1}{u}}~\mathrm {d} u\right|\leq {\frac {c}{T+c}}.} Il reste ensuite à multiplier par an /ns et sommer sur n .
Une preuve[ 1] de la formule de Perron pour une série de Dirichlet classique consiste à appliquer d'abord ce lemme lorsque c est strictement supérieur à l'abscisse de convergence absolue σa de la série. Si on a seulement c > σc , alors c + 1 > σa et le théorème intégral de Cauchy permet de se ramener au cas précédent.
↑ a b c d et e Gérald Tenenbaum , Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres , Paris, Belin, 2015 ↑ (en) Eric W. Weisstein , « Perron's Formula », sur MathWorld ↑ (en) Władysław Narkiewicz , The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood , Springer , 2000 (lire en ligne ) , p. 196 ↑ G. Valiron , « Théorie générale des séries de Dirichlet », Mémorial des sciences mathématiques , vol. 17, 1926 , p. 1-56 (lire en ligne ) , p. 9 ↑ (en) Tom M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory , New York, Springer , 1976 (lire en ligne ) , p. 243-246