En analyse réelle , la formule intégrale de Lobachevski est une formule de calcul pour des intégrales impropres , du nom du mathématicien Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski . Elle est utilisée en analyse de Fourier .
Soit f une fonction réelle continue, π -périodique et telle que f (π - x ) = f (x ) , pour tout x strictement positif. Alors on a[ 1] , [ 2]
∫ 0 + ∞ sin 2 ( x ) x 2 f ( x ) d x = ∫ 0 + ∞ sin ( x ) x f ( x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin ^{2}(x)}{x^{2}}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(x)\,\mathrm {d} x.} Démonstration
La démonstration repose sur le calcul du développement en éléments simples de l'inverse du sinus :
∀ t ∉ π Z , 1 sin t = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n t − n π , 1 sin 2 t = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n t 2 − n 2 π 2 {\displaystyle \forall t\notin \pi \mathbb {Z} ,\ {\frac {1}{\sin t}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{t-n\pi }},\ {\frac {1}{\sin ^{2}t}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{t^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}} On utilise ensuite la relation de Chasles sur les deux intégrales à noyaux, puis on fait un changement de variables :
∫ 0 + ∞ sin ( x ) x f ( x ) d x = ∑ n = 0 + ∞ ∫ n π 2 ( n + 1 ) π 2 sin ( x ) x f ( x ) d x = ∫ 0 π 2 sin ( x ) x f ( x ) d x + ∑ k = 1 + ∞ ( − 1 ) k ∫ 0 π 2 sin ( t ) f ( t ) ( 1 t − k π + 1 t + k π ) d t = ∫ 0 π 2 sin ( t ) f ( t ) [ 1 t + ∑ k = 1 + ∞ ( − 1 ) k ( 1 t − k π + 1 t + k π ) ] d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=0}^{+\infty }\int _{n{\frac {\pi }{2}}}^{(n+1){\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x+\sum _{k=1}^{+\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t)\left({\frac {1}{t-k\pi }}+{\frac {1}{t+k\pi }}\right)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t)\left[{\frac {1}{t}}+\sum _{k=1}^{+\infty }(-1)^{k}\left({\frac {1}{t-k\pi }}+{\frac {1}{t+k\pi }}\right)\right]\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}} On reconnaît alors le développement en série de l'inverse du sinus, ce qui permet de conclure :
∫ 0 + ∞ sin ( x ) x f ( x ) d x = ∫ 0 π 2 sin ( t ) f ( t ) 1 sin ( t ) d t = ∫ 0 π 2 f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)f(t){\frac {1}{\sin(t)}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(x)\,\mathrm {d} x.} L'autre partie de l'égalité se montre de façon similaire.
La formule intégrale de Lobachevski donne une méthode de calcul directe de l'intégrale de Dirichlet , en considérant la fonction f constante et égale à 1.
Les intégrales de type Lobachevski sont utilisées dans l'analyse de Fourier de fonctions périodiques ; en effet, la fonction sinus cardinal , qui apparait dans l'intégrale, est la transformée de Fourier d'une fonction porte , et la formule intégrale de Lobachevski permet donc un calcul simple de certaines intégrales en combinaison avec l'égalité de Parseval [ 3] .
↑ (en) Godfrey Harold Hardy, « The Integral ∫ 0 ∞ sin ( x ) x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}dx} », The Mathematical Gazette , vol. 5, no 80, 1909 , p. 98-103 (DOI https://doi.org/10.1017/S0025557200127500 ) . ↑ (en) Hassan Jolany, « An extension of Lobachevsky formula », Elemente der Mathematik , vol. 73, 2018 , p. 89-94 (lire en ligne ) . ↑ (en) Runze Cai, Horst Hohberger et Mian Li, « Lobachevsky-type Formulas via Fourier Analysis », Elemente der Mathematik , 2020