L'intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs
∫ 0 + ∞ sin x x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,{\textrm {d}}x={\frac {\pi }{2}}} . Il s'agit d'une intégrale impropre semi-convergente, c'est-à-dire qu'elle n'est pas absolument convergente ( ∫ 0 + ∞ | sin x | x d x = + ∞ {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin x|}{x}}\,{\textrm {d}}x=+\infty } ) mais lim a → + ∞ ∫ 0 a sin x x d x {\displaystyle \lim _{a\to +\infty }\int _{0}^{a}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x} existe et est finie.
On considère la fonction
f : R + ∗ → R x ↦ sin x x . {\displaystyle {\begin{matrix}f\colon &\mathbb {R} _{+}^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\frac {\sin x}{x}}.\end{matrix}}} En 0, sa limite à droite vaut 1, donc f est prolongeable en une application continue sur [0, +∞[ , si bien qu'elle est intégrable sur [0, a ] pour tout a > 0 . Mais elle n'est pas intégrable en +∞ , c'est-à-dire que
lim a → + ∞ ∫ 0 a | f ( x ) | d x = + ∞ {\displaystyle \lim _{a\to +\infty }\int _{0}^{a}|f(x)|~{\rm {d}}x=+\infty } [ 1] . Cependant,
lim a → + ∞ ∫ 0 a f ( x ) d x e x i s t e : {\displaystyle \lim _{a\to +\infty }\int _{0}^{a}f(x)~{\rm {d}}x\quad {\rm {existe~:}}} Dirichlet [ 2] , dans son article historique de 1829 sur les séries de Fourier , mentionne en passant une preuve fondée sur le critère de convergence des séries alternées [ 3] : « On sait que ∫ 0 ∞ sin γ γ d γ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \gamma }{\gamma }}~{\rm {d}}\gamma } a une valeur finie et égale à π/2 . Cette intégrale peut être partagée en une infinité d'autres, prises la première depuis γ = 0 jusqu'à γ = π , la seconde depuis γ = π jusqu'à γ = 2π , et ainsi de suite. Ces nouvelles intégrales sont alternativement positives et négatives, chacune d'elles a une valeur numérique inférieure à celle de la précédente […]. » ; dans le même esprit, la règle d'Abel pour les intégrales — ou une simple intégration par parties — fournit une preuve de convergence[ 4] , [ 5] ; les méthodes ci-dessous de calcul de l'intégrale fournissent encore d'autres preuves de son existence. La méthode consiste à poser
J n = ∫ 0 π 2 sin ( ( 2 n + 1 ) x ) sin x d x , K n = ∫ 0 π 2 sin ( ( 2 n + 1 ) x ) x d x {\displaystyle J_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)x{\big )}}{\sin x}}~{\rm {d}}x,\quad K_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)x{\big )}}{x}}~{\rm {d}}x} et à montrer que la différence de ces deux suites tend vers 0, que la première est constante, égale à π/2 , et que la deuxième tend vers l'intégrale de Dirichlet[ 3] , [ 6] .
En remarquant que x ↦ (sin x )/x est la partie imaginaire de x ↦ eix /x et en considérant la fonction complexe F : z ↦ eiz /z , le théorème des résidus appliqué aux intégrales du quatrième type , permettant de calculer une valeur principale de Cauchy — ou plus simplement ici : le théorème intégral de Cauchy —, donne le résultat voulu.
Plus précisément, F admet un unique pôle , en 0. Considérons le contour défini comme suit : pour deux réels R > ε >0, on choisit les demi-cercles C R {\displaystyle {\mathcal {C}}_{R}} et C ε {\displaystyle {\mathcal {C}}_{\varepsilon }} de centre O , de rayons R et ε, situés dans le demi-plan supérieur et on les relie par deux segments I et J . Cette courbe délimite un domaine borné du plan ne contenant pas l'origine.
Contour pour l'intégrale de Dirichlet. Le théorème de Cauchy donne alors
0 = ∫ C R e i z z d z + ∫ U ∪ J e i z z d z + ∫ C ε e i z z d z = ∫ C R e i z z d z + 2 i ∫ ε R sin x x d x + ∫ C ε e i z z d z {\displaystyle 0=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z+\int _{U\cup J}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z+\int _{{\mathcal {C}}_{\varepsilon }}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z+2{\rm {i}}\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x+\int _{{\mathcal {C}}_{\varepsilon }}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z} d'où, en faisant tendre R vers +∞ et ε vers 0 :
0 = 0 + 2 i ∫ 0 + ∞ sin x x d x − i π , {\displaystyle 0=0+2{\rm {i}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x-{\rm {i}}\pi ,} ce qui permet de conclure :
∫ 0 + ∞ sin x x d x = π 2 . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}.} Détails des limites des intégrales sur les deux demi-cercles
On peut aller un peu plus vite en considérant la fonction z ↦ (eiz – 1)/z qui se prolonge en une fonction entière . On intègre alors sur le contour constitué du demi-cercle C R {\displaystyle {\mathcal {C}}_{R}} et de l'intervalle [–R , R ]. Par le théorème intégral de Cauchy,
0 = ∫ C R e i z − 1 z d z + ∫ − R R e i x − 1 x d x = ∫ C R e i z z d z − ∫ C R d z z + 2 i ∫ 0 R sin x x d x = ∫ C R e i z z d z − i π + 2 i ∫ 0 R sin x x d x {\displaystyle 0=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}-1}{z}}~{\rm {d}}z+\int _{-R}^{R}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-1}{x}}~{\rm {d}}x=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z-\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {d}}z}{z}}+2{\rm {i}}\int _{0}^{R}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z-{\rm {i}}\pi +2{\rm {i}}\int _{0}^{R}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x} d'où, en faisant tendre R vers +∞ :
0 = 0 − i π + 2 i ∫ 0 + ∞ sin x x d x {\displaystyle 0=0-{\rm {i}}\pi +2{\rm {i}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x} et l'on conclut comme précédemment.
On utilise la formule suivante des transformée de Laplace : si L ( f ) = F {\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=F} , alors L [ f ( x ) x ] = ∫ p + ∞ F ( u ) d u {\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {f(x)}{x}}\right]=\int _{p}^{+\infty }F(u)\mathrm {d} u} .
Ainsi, en utilisant f = sin {\displaystyle f=\sin } , d'où F ( p ) = 1 p 2 + 1 {\displaystyle F(p)={\frac {1}{p^{2}+1}}} .
En revenant à la définition de la transformation de Laplace, la propriété admise donne alors
∫ 0 + ∞ e − p x sin x x d x = ∫ p + ∞ d u u 2 + 1 = [ arctan u ] p + ∞ = π 2 − arctan p {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\operatorname {e} ^{-px}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\int _{p}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}=\left[\arctan u\right]_{p}^{+\infty }={\frac {\pi }{2}}-\arctan p} . En passant à la limite[ 7] quand p → 0 {\displaystyle p\to 0} , on obtient ∫ 0 + ∞ sin x x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}} .
On considère l'intégrale paramétrique I ( y ) = ∫ 0 + ∞ sin x x e − x y d x {\displaystyle I(y)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x} ; on remarque déjà que l'intégrale de Dirichlet correspond à I (0) .
Cette fonction est dérivable et la dérivée vaut :
I ′ ( y ) = ∫ 0 + ∞ ∂ ∂ y ( sin x x e − x y ) d x = ∫ 0 + ∞ sin x x ( − x ) e − x y d x = − ∫ 0 + ∞ sin ( x ) e − x y d x = − ℑ m ( ∫ 0 + ∞ e i x e − x y d x ) = − ℑ m ( ∫ 0 + ∞ e ( i − y ) x d x ) = − ℑ m [ 1 i − y e ( i − y ) x ] x = 0 + ∞ = ℑ m [ i + y 1 + y 2 e ( i − y ) x ] x = 0 + ∞ = − 1 1 + y 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}I'(y)&=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\sin x}{x}}\mathrm {e} ^{-xy}\right)\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}(-x)\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x=-\int _{0}^{+\infty }\sin(x)\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x\\&=-\Im m\left(\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x\right)=-\Im m\left(\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{(\mathrm {i} -y)x}\mathrm {d} x\right)\\&=-\Im m\left[{\frac {1}{\mathrm {i} -y}}\mathrm {e} ^{(\mathrm {i} -y)x}\right]_{x=0}^{+\infty }=\Im m\left[{\frac {\mathrm {i} +y}{1+y^{2}}}\mathrm {e} ^{(\mathrm {i} -y)x}\right]_{x=0}^{+\infty }=-{\frac {1}{1+y^{2}}}.\end{aligned}}} Ainsi, I ( y ) = − arctan ( y ) + c {\displaystyle I(y)=-\arctan(y)+c} , et faire tendre y vers l'infini permet d'établir que c = π /2 . On en déduit que I (0) = π /2 .
La convergence de ∫ 0 + ∞ | sin x | x d x {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin x|}{x}}\,{\textrm {d}}x} équivaut à celle de la série de terme général positif u k = ∫ k π ( k + 1 ) π | sin x | x d x {\displaystyle u_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{x}}\,{\textrm {d}}x} ; or d'après la preuve sans mot figurée ci-contre, u k ⩾ π 2 1 k π + π / 2 = 1 2 k + 1 {\displaystyle u_{k}\geqslant {\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{k\pi +\pi /2}}={\frac {1}{2k+1}}} , d'où la divergence de la série donc de l'intégrale.
↑ Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité . ↑ Mr. Lejeune-Dirichlet, « Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données », J. reine angew. Math. , vol. 4, 1829 , p. 157-169 (p. 161) (arXiv 0806.1294 ) . ↑ a et b Comme f est nulle à l'infini, pour étudier la limite éventuelle de son intégrale de 0 à a quand a → +∞ , il suffit de le faire pour a parcourant les valeurs d'une suite arithmétique arbitraire. ↑ S. Balac et F. Sturm, Algèbre et analyse : cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés , PPUR , 2003 (lire en ligne ) , p. 940 . ↑ Pour cette preuve et une variante, voir le devoir corrigé « Intégrale de Dirichlet » sur Wikiversité . ↑ Voir le devoir corrigé « Intégrale de Dirichlet » sur Wikiversité . ↑ Ce passage à la limite est justifié comme suit dans les p. 6-7 de (en) J. Michael Steele , « A scholium on the integral of sin ( x ) / x {\displaystyle \sin(x)/x} and related topics », sur Wharton School , UPenn , septembre 2014 : d'après la deuxième formule de la moyenne , | ∫ a + ∞ e − p x x sin x d x | ≤ 2 e − p a a {\displaystyle \left|\int _{a}^{+\infty }{\frac {\operatorname {e} ^{-px}}{x}}\sin x\,\mathrm {d} x\right|\leq 2{\frac {\operatorname {e} ^{-pa}}{a}}} . Nino Boccara , Fonctions analytiques [détail de l’édition ] (de) Hans Fischer, « Die Geschichte des Integrals ∫ 0 ∞ sin x x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx} : eine Geschichte der Analysis in der Nussschale », Math. Semesterber. , vol. 54, no 1, 2007 , p. 13-30